TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Razões Trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente.

Tabela de Valores Trigonométricos

Razões Trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º.

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO, COSSENO E TANGENTE.

Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente.

Exercícios resolvidos:

1) Na figura abaixo, determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos  e .

Solução:

2) O triângulo ABC da figura abaixo é retângulo em Â. Calcule o valor do cosseno do ângulo B.

Solução:

Como: , temos: .

Pelo Teorema de Pitágoras:

Assim, .

TABELA DE VALORES TRIGONOMÉTRICOS.

A tabela a seguir apresenta os valores aproximados do seno, cosseno e da tangente dos ângulos agudos com 4 casas decimais. A mesma é útil na resolução de problemas.

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS DE 30º, 45º E 60º.

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são chamados de ângulos notáveis. As razões trigonométricas desses ângulos precisam ser decoradas, ou seja, podem ser solicitadas em situações problema sem o fornecimento da tabela. Para concluir os valores de seno, cosseno e tangente desses três ângulos usaremos os valores da diagonal do quadrado e da altura do triângulo equilátero que já foram concluídas no capítulo anterior.

1º caso: Seno, Cosseno e Tangente de 45º

Seja ABCD um quadrado com lado “l”

Como AC é a diagonal do quadrado, sabemos que: .

Assim, calculando o seno, o cosseno e a tangente de 45º, temos:

2º caso: Seno, Cosseno e Tangente de 30º

Seja ABC um triângulo equilátero com lado “l”.

Como AD é a altura do triângulo equilátero, temos:.

Assim, calculando o seno, o cosseno e a tangente de 30º:

3º caso: Seno, Cosseno e Tangente de 60º

Usando a mesma figura, podemos calcular o seno, o cosseno e a tangente de 60º:

todos os valores na tabela abaixo, temos:

Observações

As razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) são adimensionais, ou seja, não possuem unidade de medida.

O seno e o cosseno de um ângulo agudo são números reais positivos menores do que 1.

É importante saber os valores aproximados de  e , assim:  e.

 Exercícios resolvidos

1) No desenho abaixo está representado o instante em que um satélite de órbita baixa transmite o sinal para uma antena receptora.

Qual é a distância S que esse sinal de satélite deve percorrer para chegar até a antena receptora?

A) 457,3 km

B) 703,9 km

C) 1000 km

D) 1292 km

E) 1539,5 km

Solução:

Em relação ao ângulo dado (57º) a situação fornece o cateto oposto (839 km) e pede a hipotenusa. Assim, convém usar o seno de 57º.

Com isso: .

Gabarito: C

2) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento para medir ângulos) a 300 metros do edifício e mediu um ângulo de 30º, como indicado na figura a seguir.

Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, determine a altura do edifício.

Adote a aproximação: .

Solução:

Substituindo os dados na figura, temos:

Assim, precisamos achar o cateto oposto ao ângulo de 30º e foi dado o cateto adjacente.

Com isso:

3) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante. Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?

A) 150   

B) 180   

C) 270   

D) 300   

E) 310   

Solução:

Observe que quanto mais próximo do prédio, maior a inclinação do olhar. Significa que se o ângulo for de 30º, o observador estará mais afastado do prédio. A altura do prédio não se altera. Considerando essa distância total como (d + 90m) e aplicando a razão trigonométrica da tangente, temos:

i)

ii)

Logo: 

4) Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo  é dado por:

A)   

B)  

C)    

D)    

E)  

Solução:

De acordo com os dados do enunciado, temos:

Extraindo o triângulo em questão, temos:

Logo,

Gabarito: B

5) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão.

Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.

O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma distância BR de medida  metros.

Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre:

A) 3 e 4   

B) 4 e 5   

C) 5 e 6   

D) 6 e 7   

Solução:

Como BR é igual a m, temos BP = RP = 6 m.

Assim:

Como 

Gabarito: B