ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS

Considere a circunferência unitária abaixo, temos:

Pela semelhança dos triângulos  e , temos .

1ª) Demonstração do sen (a + b):

I) No triângulo retângulo OFG, temos:

II) No triângulo retângulo OGL, temos:0

III) Substituindo II em I, temos:

IV) No triângulo retângulo OGL, temos:

V) No triângulo retângulo LGH, temos:

VI) Substituindo IV em V, temos:

VII) No triângulo OEL, temos:

Como , temos:

2ª) Demonstração do :

I) No triângulo retângulo OFG, temos:

II) No triângulo retângulo OGL, temos:

III) Substituindo II em I, temos:

IV) No triângulo retângulo OGL, temos:

V) No triângulo retângulo LGH, temos:

VI) Substituindo IV em V, temos:

VII) No triângulo OEL, temos:

Como OE = OF – FE = OF – GH, temos:

3ª) Demonstração do :

Dividindo o numerador e denominador por cos a.cos b, temos:

Estendendo a definição, temos:

4ª)

5ª)

6ª) 

Exercícios resolvidos

1) Sabe-se que  e , com  e . Determine, então, sen (a + b), cos (a – b) e tg (a + b).

Solução:

2) Sabe-se que  e , com  Calcule e .

Solução:

Resolvendo o sistema, obtemos  e .

3) Simplifique a expressão:

Solução:

4) Dados e , determine em função de .

Solução:

5) Encontre todas as soluções do sistema:  que satisfaçam .

Solução:

Somando (I) e (II) membro a membro:

ARCO DUPLO

Vamos determinar as expressões trigonométricas dos arcos duplos, ou seja, . Basta considerar e aplicar nas fórmulas de adição de arcos.

1ª) , temos:

Como , então:

2ª) , temos:

Como , então:

Lembrando que , também, podemos escrever .

Desta forma, também, teremos:

3ª) , temos: