SISTEMAS LINEARES DE 2 E 3 VARIÁVEIS

Aprenda sobre Sistemas Lineares 2×2 e 3×3.

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SISTEMAS LINEARES (2 X 2)

São sistemas lineares de m equações e n incógnitas, todos os conjuntos de m equações lineares e n incógnitas, do tipo:

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 & & & \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 & & & \\ .................................................. & & & \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2 +...+a_{mn}x_n=b_m & & & \end{matrix}\right.$

onde aij e b são coeficientes e x1, x2,…, xn são incógnitas.

Um sistema pode ser classificado em:

Possível (compatível) e determinado: quando o seu conjunto verdade é unitário.

Possível (compatível) e indeterminado: quando o seu conjunto verdade é infinito.

Impossível (incompatível): quando o seu conjunto verdade é vazio.

Exemplo1:

$\left\{\begin{matrix} x+y=3 & \\ x-y=1 & \end{matrix}\right.$
$2x=4\, \, \, \, \, \, 2+y=3$
$x=2\, \, \, \, \, \, y=1$
$S=\left \{ 2,1 \right \}$

O sistema anterior apresenta solução única, logo, é chamado de sistema possível e determinado (SPD).

FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR

Dado o sistema:

Exemplo 1:

$\left\{\begin{matrix} 2x+5y=12 & \\ x-3y-5 & \end{matrix}\right.$
$\begin{bmatrix} 2 &5 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 12\\-5 \end{bmatrix}$

SISTEMAS LINEARES (3 X 3)

Dado o sistema , $\left\{\begin{matrix} a_1x+a_2y =b_1& \\ a_3x+a_4y=b_2& \end{matrix}\right.$ , podemos escrever como

$\begin{bmatrix} a_1 & a_2\\ a_3 & a_4 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\end{bmatrix}$
$det\begin{bmatrix} a_1 &a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix}=detD$
$det\begin{bmatrix} b_1 &a_ 2\\ b_2 & a_4 \end{bmatrix}=detD_x$
$det\begin{bmatrix} a_1 &b_ 2\\ a_2 & b_4 \end{bmatrix}=detD_y$
$x=\frac{D_x}{D},y=\frac{D_y}{D},z=\frac{D_z}{D},...$

Exemplo 1:

$x+y=3$
$x-y=1$
$D=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\textup{detD=-2}$
$D_x=\begin{bmatrix} 3& 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}detD_x=-4$
$D_y=\begin{bmatrix} 1& 3\\ 1 & 1 \end{bmatrix}detD_y=-2$

Logo:

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{-4}{-2}=2$
$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-2}{-2}=1$

I) Se D ≠ 0, então, o sistema será possível e determinado.

II) Se D = 0, o sistema poderá ser possível e indeterminado ou impossível. Em geral:

Se D_x = D_y = D_z = … = 0, o sistema será possível e indeterminado, salvo os casos onde teremos planos paralelos, pois o sistema, neste caso, será impossível.

Se D = 0 e pelo menos um dos outros determinantes é diferente de zero, o sistema será impossível.

ATENÇÃO: cuidado com os planos paralelos. Pois, por Cramer, todos os determinantes são iguais a zero, porém, o sistema é impossível.

Exercícios resolvidos

1) Um parque tem 3 pistas para caminhada, X, Y e Z. Ana deu 2 voltas na pista X, 3 voltas na pista Y e 1 volta na pista Z, tendo caminhado um total de 8.420 metros. João deu 1 volta na pista X, 2 voltas na pista Y e 2 voltas na pista Z, num total de 7.940 metros. Marcela deu 4 voltas na pista X e 3 voltas na pista Y, num total de 8.110 metros. O comprimento da maior dessas pistas, excede o comprimento da menor pista em

A) 1.130 metros.

B) 1.350 metros.

C) 1.570 metros.

D) 1.790 metros.

Solução: A

Calculando:

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y+z=8420 & & \\ x+2y+2z=7940 & & \\ 4x+3y=8110\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+3y+z=8420 & & \\ -3x-4y=-8900& & \\ 4x+3y=8110\, \, \, \, \, \, \, & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+3y+z=8420 & & \\ -9x-12y=-26700 & & \\ 16x+12y=32440 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+3y+z=8420 & & \\ 3x+4y=8900\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \\ 7x=5740\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \begin{matrix} x=820 & & \\ y=1610 & & \\ z=1950 & & \end{matrix}$
$z-x=1950-820=1130m$

2) Márcia e Marta juntas “pesam” 115 kg; Marta e Mônica “pesam” juntas 113 kg; e Márcia e Mônica “pesam” juntas 108 kg. Qual é a soma dos “pesos” de Márcia, Marta e Mônica?

A) 205 kg

B) 195 kg

C) 187 kg

D) 175 kg

E) 168 kg

Solução: E

Considerando que:

Márcia “pesa” x kg; Marta “pesa” y kg e Mônica “pesa” z kg, temos o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix} x+y=115 & & \\ x+z=113& & \\ x+z=108& & \end{matrix}\right.$

Somando as equações, obtemos:

$2x+2y+2z=336$

Portanto,

$x+y+z=168\, \textup{kg}$

3) Na Escola de Marinha Mercante, há alunos de ambos os sexos (130 mulheres e 370 homens), divididos entre os Cursos Básico, de Máquinas e de Náutica. Sabe-se que do total de 130 alunos do Curso de Máquinas, 20 são mulheres. O Curso de Náutica tem 270 alunos no total e o Curso Básico tem o mesmo número de homens e mulheres. Quantas mulheres há no Curso de Náutica?

A) 50

B) 55

C) 60

D) 65

E) 70

Solução: C

De acordo com o texto do problema e considerando que cada aluno não poderá fazer dois cursos ao mesmo tempo, temos:

Temos então o seguinte sistema linear:

$\left\{\begin{matrix} x+y=110 & \\ -x+y=10 & \end{matrix}\right.$

Somando as equações, temos:

$2y=120\Rightarrow y=60$

Portanto, o número de mulheres no curso de Náutica é

4) Uma pessoa comprou 2 pacotes de algodão, 5 rolos de gaze e 3 rolos de esparadrapo. Na farmácia onde realizou a compra, o preço de um pacote de algodão mais um rolo de gaze e mais um rolo de esparadrapo é R$ 16,00. Um rolo de esparadrapo custa R$ 2,00 a menos que um pacote de algodão e R$ 1,00 a mais que um rolo de gaze. Sabendo que essa pessoa pagou a compra com uma nota de R$ 50,00, o valor do troco recebido foi

A) R$ 0,50

B) R$ 1,00

C) R$ 1,50

D) R$ 2,50

E) R$ 2,00

Solução: B

Considerando que x é o preço do pacote de algodão, y o preço do rolo de gaze e z o preço do rolo de esparadrapo, temos o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=16 & & \\ z=x-2\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \\ z=y+1\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=16 & & \\ x=z+2\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \\ y=z-1\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \end{matrix}\right.$

Resolvendo o sistema por substituição, temos a seguinte equação:

$z+2=z-1+z=16\Rightarrow 3z=15\Rightarrow z=5$

Portanto, temos:

$z=5,x=7$ e $y=4$

O valor do troco será dado por:

$50-(2x+5y+4z)=50-(2\cdot 7+5\cdot 4+3\cdot 5)=1,00$

O troco recebido foi de R$ 1,00.

5) Saulo sacou R$ 75,00 do caixa eletrônico de um Banco num dia em que este caixa emitia apenas cédulas de R$ 5,00 e R$10,00. De quantos modos poderiam ter sido distribuídas as cédulas que Saulo recebeu?

A) 6

B) 7

C) 8

D) Mais do que 8.

Solução: C

Considerando que foram retiradas x notas de R$ 5,00 e y notas de R$ 10,00, temos a seguinte equação:

$5x+10y=75$

Ou seja:

$x+2y=15$
$x=15-2y$

O que nos leva a concluir que poderá ser qualquer inteiro de 0 (zero) até 7 para que x seja um número inteiro não negativo. Temos portanto, 8 possibilidades para se sacar o dinheiro utilizando apenas notas de R$ 5 e de R$ 10.

6) Dizem que o autor do poema seguinte não foi outro senão o próprio geômetra Euclides da Alexandria – nascido por volta do ano 330 a.C. -, o que prova que também os grandes matemáticos se dedicam, ocasionalmente, a pequenos problemas, sem baixar a sua dignidade.

Asno e mulo vinham pela estrada carregados de sacos.
Sob o peso dos fardos, o asno gemia e resmungava, inconformado.
Aquele o notou, e assim falou ao apoquentado companheiro:
“Dize-me, velhinho, que choras e lamentas qual inocente rapariga,
O dobro do que tu levas carregaria eu, se me desses um volume;
Se me tomasses um, ah!, então sim, conduziríamos ambos a mesma carga.”
Tu, geômetra perito, dize-me quantos fardos transportavam?

_{Fonte: A Magia dos Números; Paul Karlson – Coleção Tapete Mágico XXXI – Editora Globo, RJ – 1961}

Com base nas informações dadas pelo mulo, é correto afirmar que, o produto das quantidades de sacos que cada um carregava é um número

A) primo.

B) múltiplo de 7.

C) divisível por 6.

D) quadrado perfeito.

Solução: B

Considerando que o asno carregava volumes e mulo carregava volumes, podemos escrever, partindo das observações do mulo, o seguinte sistema.

$\left\{\begin{matrix} y+1=2\cdot (x-1) & \\ y-1=x+1\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=2x-3 & \\ y=x+2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2x-3=x+2\Rightarrow x=5\, \textup{e}\, =7$

Portanto, o produto das quantidades de sacos é 35 (múltiplo de 7).

7) Juntas, Clara e Josefina realizaram certo trabalho, pelo qual Clara recebeu, a cada hora, R$ 8,00 a mais do que Josefina. Se, pelas 55 horas que ambas trabalharam, receberam o total de R$ 1760,00, a parte dessa quantia que coube a Clara foi

A) R$ 660,00

B) R$ 770,00

C) R$ 990,00

D) R$ 1100,00

Solução: D

Equacionando as informações dadas no enunciado, tem-se:

Valor recebido por Clara = C

Valor recebido por Josefina = J

C = J + 8

$\begin{matrix} 55J+(J+8)\cdot 55=1760\rightarrow 55J+55J+440=1760\rightarrow 110J=1320\rightarrow J=12 & \\ & \end{matrix}$
$C=12+8\rightarrow C=20$
$20\cdot55\, \textup{horas}=R\$1100,00$

8) Bia é 6 anos mais velha que Carla. Há 2 anos, a idade de Bia era o triplo da idade de Ana e daqui a 1 ano será igual à soma das idades de Ana e Carla. Podemos afirmar que:

A) Ana tem 7 anos.

B) Bia tem 12 anos.

C) Ana é mais velha que Carla.

D) Carla tem 6 anos.

E) Ana e Carla têm a mesma idade.

Solução: E

Calculando:

$\left\{\begin{matrix} B=C+6 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \\ B2=3\cdot (A-2) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \\ B+1=(A+1)+(C+1) & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} B=C+6 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \\ B-2=3A-6 & & \\ B-1=A+C & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} C+6-2=3A-6 & \\ C+6-1=A+C & \end{matrix}\right.\rightarrow$
$\left\{\begin{matrix} C=3A-10 & \\ A=5\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & \end{matrix}\right.\rightarrow C=5\rightarrow B=11$

9) Cada grama do sal custa R$ 1,20 e cada grama do sal Q, R$ 1,15. Cada quilo de certa mistura desses dois sais, feita por um laboratório, custa R$ 1.179,00. Com base nesses dados, pode-se afirmar que a quantidade do sal P, utilizada para fazer um quilograma dessa mistura, é:

A) 420 g

B) 480 g

C) 520 g

D) 580 g

Solução: D

Calculando

$\left\{\begin{matrix} 1200\cdot P+115 0\cdot Q=1179& \\ P+Q=1\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & \end{matrix}\right.$
$1200P+1150\cdot(1-P)=1179$
$50P=29\rightarrow P=0,58\textup{kg}=580\textup{g}$

10) O transporte aéreo de pessoas entre as cidades de Belo Horizonte e Campinas é feito por uma única companhia em um único voo diário. O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço da passagem p relaciona-se com o número x de passageiros por dia pela equação p(x) = 285 – 0,95x. Nessas condições, o número de passageiros que torna a receita máxima possível por viagem é:

A) 150

B) 160

C) 170

D) 180

Solução: A

Calculando (sendo R a receita proveniente da venda de passagens), tem-se:

$p=285-0,95x$
$p\cdot x=R$
$R=x\cdot (285-0,95x)\rightarrow R=285x-0,95x^2$