RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – LEI DOS COSSENOS

Acabamos de estudar relações métricas que são aplicadas somente em triângulos retângulos. Nosso objetivo agora, é estudar relações métricas mais gerais, que podem ser aplicadas em qualquer triângulo.

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Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.

Demonstração:

1˚caso: Suponha o ângulo Â agudo.

Na figura, CD é altura relativa ao lado AB

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CAD

$h^2� + m^2� = b^2� => h^2� = b^2� - m�^2 (I)$

Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo CDB, temos:

$a^2� = h^2� + (c - m)�^2$
$a�^2 = h^2� + c^2� - 2cm + m^2� (II)$

Substituindo a equação (I) na (II) teremos:

$a^2� = b^2� - m^2� + c^2� - 2cm + m^2�$
$a�^2 = b^2� + c^2� - 2cm (III)$

Mas, no triângulo $CAD$ , $cos\hat{A}=\frac{m}{b}\Rightarrow m=bcos\hat{A}$

Substituindo essa última igualdade na equação (III) teremos:

A² = b² + c² – 2bc cosÂ

Como queríamos demonstrar.

2˚caso: Suponha o ângulo Â obtuso.

Na figura, CD é altura relativa ao lado AB.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CAD

$h^2� + m^2� = b^2� \Rightarrow h^2� = b^2� - m^2� (I)$

Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo CDB, temos:

$a^2� = h^2� + (c + m)^2$
$a^2� = h^2� + c^2� + 2cm + m^2� (II)$

Substituindo a equação (I) na (II) teremos:

$a^2� = b^2� - m^2� + c^2� + 2cm + m^2�$
$a^2� = b^2� + c^2� + 2cm (III)$

Mas, no triângulo $CAD$ , $cos(180^{\circ}-\hat{A})=\frac{m}{b}\Rightarrow cos\hat{A}=-\frac{m}{b}\Rightarrow m=-bcos\hat{A}$ .

Substituindo essa última igualdade na equação (III) teremos:

A² = b² + c² – 2bc cosÂ

Como queríamos demonstrar.

Exemplos:

1. Determine o valor do $cos\alpha$ de acordo com a seguinte figura:

Solução:

Aplicando a Lei dos cossenos, temos:

$8^2=10^2+12^2-2\cdot 10\cdot 12\cdot cos\alpha$
$64=100+144-240cos\alpha$
$64=244-240cos\alpha$
$240\, cos\alpha =244-64$
$240\, cos\alpha ={180}$
$cos\alpha =\frac{180}{240}$
$cos\alpha =\frac{3}{4}$

Duas formigas partem de um mesmo ponto em linhas retas formando um ângulo de 120° como na figura. Enquanto uma delas percorre 3 metros parando em um ponto A, a outra percorre 4 metros parando em um ponto B, no mesmo intervalo de tempo.

Determine nesse a distância x entre elas.

Resolução:

Aplicando a Lei dos Cossenos, teremos

$x^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot cos120^{\circ}$
$x^2=25-24(-0,5)$
$x^2=25+12$
$x^2=37$
$x=\sqrt{37}m$

Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas.

Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.

Solução:

Como a circunferência completa possui um arco em graus de 360º, o relógio a divide em 12 arcos congruentes de 30º cada. Considerando que às 4h o vértice do ângulo dos ponteiros forma um ângulo de 120º com o ponteiro das horas, temos: