REGRA DE CRAMER E DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES

Aprenda sobre Regra de Cramer, Classificação de um Sistema Linear e Discussão de Sistemas de Ordem Superior a 2.

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REGRA DE CRAMER

Considere o sistema abaixo:

$\left\{\begin{matrix} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 & & \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 & & \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 & & \end{matrix}\right.$

e sendo D, D_x, D_y e D_z, determinantes dos coeficientes como apresentados abaixo:

$D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 &c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, D_x=\begin{vmatrix} d_1 & b_1& c_1\\ d_2 & b_2 &c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, D_y=\begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1\\ a_2 & d_2 & c_2\\ a_3 &d_3 & c_3 \end{vmatrix}\, \textup{e}\, D_z=\begin{vmatrix} a_1 & b_ 1& d_1\\ a_2 & b_2 &d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$

Temos:

$x=\frac{D_x}{D}, y=\frac{D_y}{D}\, \textup{e}\, z=\frac{D_z}{D}$

OBSERVAÇÃO

Esta regra se aplica apenas para SPD, quando D ¹ 0.

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções que ele tem. Ele pode ser: sistema possível e determinado (SPD), sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível.

SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD)

É todo sistema linear que apresenta uma única solução.

Exemplo:

$\left\{\begin{matrix} x+y=10 & \\ x-2y=4& \end{matrix}\right.$

Esse sistema apresenta uma única solução que é o par, ou seja, x = 8 e y = 2.

SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI)

É todo sistema linear que apresenta mais de uma solução.

Exemplo:

$\left\{\begin{matrix} x+y=5 & \\ 2x+2y=10& \end{matrix}\right.$

Esse sistema apresenta mais de uma solução: (5,0); (1,4); (3,2) etc.

OBSERVAÇÃO:

Se um sistema linear admite mais de uma solução, então ele admite infinitas soluções.

SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI)

É todo sistema linear que não admite solução.

Exemplo: $\left\{\begin{matrix} x+y=10 & \\ 2x+2y=13 & \end{matrix}\right.$

Note que nenhuma solução da primeira equação é também solução da segunda.

DISCUSSÃO DE SISTEMAS

Considere o sistema de equações a seguir:

Exemplo: $\left\{\begin{matrix} ax+by=c & \\ Ax+By=C& \end{matrix}\right.$

Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, podemos concluir que:

I) Sistema possível e determinado

$\frac{a}{A}\neq \frac{b}{B}$

Uma única solução

Retas concorrentes

^Concorrentes

II) Sistema possível e indeterminado

$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}= \frac{c}{C}$

Infinitas soluções

Retas coincidentes

^Coincidentes

III) Sistema impossível

$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}\neq \frac{c}{C}$

Nenhuma solução

Retas paralelas

^Paralelas

Exercícios resolvidos

1) Classifique os sistemas a seguir:

A) $\left\{\begin{matrix} 2x+6y=9 & \\ -3x-9y=-11 & \end{matrix}\right.$

Solução:

Relacionando os coeficientes das equações, temos:

$\frac{2}{-3}=\frac{6}{-9}\neq \frac{9}{-11}\, \textup{ Logo, o sistema � imposs\'ivel.}$

B) Discutir o sistema $\left\{\begin{matrix} 2x-y=10 & \\ -2x+y=-10 & \end{matrix}\right.$

Solução:

Relacionando os coeficientes das equações, temos:

$\frac{2}{-2}=\frac{-1}{1}=\frac{10}{-10}$

Logo, o sistema é possível indeterminado.

3. DISCUSSÃO DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A 2

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA

Sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, geralmente temos:

$D\neq 0\Rightarrow SPD\, \textup{e}\, D=0\Rightarrow SPI\, \textup{ou}\, SI$

SISTEMAS HOMOGÊNEOS

Quando o termo independente de cada uma de suas equações é igual a zero. Exemplos:

$\left\{\begin{matrix} x+2y=0 & \\ 2x-y=0 & \end{matrix}\right.\, \textup{ou}\, \left\{\begin{matrix} x-y-2z=0 & & \\ -x+y+z=0 & & \\ x-2y+z=0 & & \end{matrix}\right.$

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

Sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos:

$D\neq 0\Rightarrow SPD\, \textup{e}\, D=0\Rightarrow SPI$

Todo sistema linear homogêneo é possível, pois admite no mínimo a solução trivial (0,0,0).

Exercícios Resolvidos

1) Resolva usando a regra de Cramer:

A) $\left\{\begin{matrix} x+y-z=0\\ x-y-2z=1 & & \\ x+2y+z=4& & \end{matrix}\right.$

Solução:

$D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1\\ 1 & -1 &-2 \\ 1& 2 & 1 \end{vmatrix}\left.\left.\begin{matrix} 1 &1 \\ 1 & -1\\ 1&2 \end{matrix}\right|=(-1-2-2)-(1-1+4)=-5-(-2)=-5+2=-3$ $D_x=\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1\\ 1 & -1 &-2 \\ 4& 2 & 1 \end{vmatrix}\left.\left.\begin{matrix} 0 &1 \\ 1 & -1\\ 4&2 \end{matrix}\right|=(0-8-2)-(4+0+1)=-10-5=-15$
$D_y=\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 &-2 \\ 1& 4 & 1 \end{vmatrix}\left.\left.\begin{matrix} 1 &0 \\ 1 & 1\\ 1&4 \end{matrix}\right|=(1+0-4)-(-1-8=0)=-3-(-9)=-3+9=6$
$D_z=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 &1 \\ 1& 2 & 4\end{vmatrix}\left.\left.\begin{matrix} 1 &1 \\ 1 & -1\\ 1&2 \end{matrix}\right|=(-4+1+0)-(0+2+4)=-3-6=-9$

Temos:

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{-15}{-3}=5$
$y=\frac{D_y}{D}=\frac{6}{-3}=-2$
$z=\frac{D_z}{D}=\frac{-9}{-3}=3$
$S=\left \{ \left ( 5,-2,3 \right ) \right \}$

2) Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impossível:

$\left\{\begin{matrix} x+ay+z=2 & & \\ -x-2y+3z\, \, \, \, \, & & \\ 3x+az=5\, \, \, \, \, \, & & \end{matrix}\right.$

Solução:

Utilizando a Regra de Cramer:

$SI \textup{ou}\, SPI\Rightarrow D=0$
$\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x+ay+z=2 \, \, \, \, \, \, \, & & \\ -x-2y+3z=-1\, \, & & \\ x3+0y+az=5 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow D=\begin{vmatrix} 1 & a &1 \\ -1& -2 &3 \\ 3 & 0 & a \end{vmatrix}=a^2+7a+6=0\Rightarrow \begin{matrix} a'=-1 & \\ a''=-6 & \end{matrix} & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$

Mas,

$x=\frac{D_x}{D}\Rightarrow D_x\neq 0$
$D_x=\begin{vmatrix} 2 & a &1 \\ -1 & -2 & 3\\ 5 &0 & a \end{vmatrix}=a^2+11a+10\neq 0\Rightarrow \begin{matrix} a'\neq -1 & \\ a''\neq -10 & \end{matrix}$

3) Considere o sistema dado pelas equações:

$x-3y+4z=3$
$2x-5y+10z=8$
$x-y+(a^2-1)z=a+10$

A) Determine o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e determinado e encontre seu conjunto solução.

B) Determines o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e indeterminado.

Solução:

A) O sistema é possível e determinado se, e somente se,

$\begin{vmatrix} 1 &-3 &4 \\ 2 & -5 & 10\\ 1& -1 & a^2-1 \end{vmatrix}\neq 0\Leftrightarrow -5(a^2-1)-30-8+20+10+6(a^2-1)\neq 0$
$\Leftrightarrow a^2\neq 9$
$\Leftrightarrow a\neq ^+_-3$

Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, obtemos

Em consequência, o conjunto solução é

$S=\left \{ \left ( \frac{9a-37}{a-3},\frac{2a-8}{a-3},\frac{1}{a-3} \right );a\in \mathbb{R} \, \textup{e}\, a\neq 3\right \}$

B) O sistema é possível e indeterminado se, e somente se, $a^2-9=0\, \textup{e}\, a+3=0$ , isto é, se $a=-3$ .

4) No processo de preparação de uma mistura, foi necessário estudar o sistema linear:

$\left\{\begin{matrix} p+2q+r =3& & \\ 2p+3r=8\, \, \, \, \, \, \, \, & & \\ p+6q=1\, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \end{matrix}\right.$

Nesse sistema, p, q e r representam as quantidades dos três elementos envolvidos na mistura.

A) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema.

B) Resolva o sistema.

Solução:

A) A matriz dos coeficientes do sistema é $\begin{pmatrix} 1 &2 &1 \\ 2 & 0 & 3\\ 1 &6 & 0 \end{pmatrix}$ . Logo, seu determinante é igual a

$\begin{vmatrix} 1 &2 &1 \\ 2 & 0 & 3\\ 1& 6 & 0 \end{vmatrix}=6+12-18=0$

B) Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, vem

Donde $r = 2 + 4q \, \textup{e}\, p = 1 - 6q$ . Observando que p, q e r são números reais não negativos, deve-se ter $q\, \in \left [ 0,\frac{1}{6} \right ]$ . Portanto, fazendo $q = a$ , segue-se que o conjunto solução do sistema é $\left \{\left (1-6\alpha,\alpha ,2+4\alpha \right );0\leq \alpha\leq \frac{1}{6} \right \}$ .