PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Uma sequência (a1, a2, a3, …, an) é uma progressão geométrica se, e somente se, cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do termo anterior por uma constante q denominada razão da P.G..

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Exemplos:

$(2, 8, 32, 128, ...) \rightarrow q = 4$
$(12, 6, 3,...)\rightarrow q = 12$

CALCULANDO A RAZÃO

As progressões geométricas que estudaremos são aquelas de termos não nulos e de razão diferente de zero. Assim, a partir da definição decorre de imediato que $q=\frac{a_n}{a_{n-1}}$ , $\forall\: n \in N$ e $n\geq 2$ , ou, simplesmente, $q= \frac{{termo\: qualquer}}{termo\: anterior}$ .

Classificação de uma PG:

Podemos classificar as progressões geométricas de quatro maneiras:

A) Crescentes : cada termo é maior que o anterior.

B) Decrescentes: cada termo é menor que o anterior.

C) Constantes: cada termo é igual ao anterior.

D) Oscilantes: cada termo tem sinal contrario ao do termo anterior.

O TERMO GERAL

Em uma geométrica $(a_1, a_2, a_3, ... , a_n, ...)$ de razão q, partindo do 1° termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1° termo pela razão $q(a_2 = a_1 . q)$ ; para avançar dois termos basta multiplicar o 1° termo pelo quadrado da razão $q (a_3 = a_1 . q^2)$ ; para avançar três termos basta multiplicar o 1° termo pelo cubo da razão q $(a_4 = a_1 . q^3)$ e assim por diante. Desse modo encontramos o termo de ordem n, denominado temo geral da PG, que é dado por:

$a_n = a_1 . q^{n-1}$ (ao passar de $a_1$ para $a_n$ , avançamos $n-1$ termos)

Exemplos:

A) Calcule o sexto e o sétimo termo de uma progressão geométrica na qual $a_1=5$ e $q=-3$ .

Solução:

Aplicando a formula do termo geral $na = a_1 . q^{n-1}$ , temos que:

$a_6 = a_1 . q^5 = 5 . (-3)^5 = -1215$
$a_7 = a_1 . q^6 = 5 . (-3)^6 = 3645$

B) Determine o termo geral da PG $(6, 18, 54,...)$

Solução:

Nessa PG, temos que $a_1 = 6$ e $q = 3.$

Portanto o seu termo geral é:

$a_n = a_1 . q^{n-1} = 6 . 3^{n - 1} = 2 . 3 . 3^{n-1} 2 . 3^n$

C) Em uma progressão geométrica o quarto termo é 2 e o nono termo é 64, qual é o valor do sétimo termo?

Solução:

$a_9 = a_4 . q^5 \rightarrow 64 = 2 . q^5 \rightarrow 32 = q^5 \rightarrow q = 2$
$a_7 = a^4 . q^3 \rightarrow a_7 = 2 . 2^3 = 2^4 = 16$
$a_7 = 16$

PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

A) Numa PG, considerados três termos consecutivos, o termo central ao quadrado é igual ao produto dos dois termos adjacentes a ele. (média geométrica)

B) Numa PG finita de n termos, $a_p$ e $a_k$ sejam dois de seus termos, e sejam equidistantes dos extremos, isto é, $p + k = n + 1.$

O produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos:

$a_2\: . \: a_n - 1 = a_3\: . \: a_{n - 2}= a_4 \: . \: a_n - _3= a_1\: . \: a_n$

C) Numa PG com número ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica dos extremos e, portanto, também é a média geométrica de qualquer par de termos equidistantes dos extremos.

FORMAS ESPECIAIS DE ESCRITA

PG com três termos: $\left ( \frac{x}{q}, x, xq \right )\rightarrow$ razão q.

PG com quatro termos: $\left ( \frac{x}{t^3}, \frac{x}{t}, x.t, x.t^3\right )$ $\rightarrow$ razão $t^2$ .

PG com cinco termos: $\left ( \frac{x}{q^2}, \frac{x}{q}, x.q, x.q^3\right )$ $\rightarrow$ razão q.

Exemplos:

A) Três números estão em PG de forma que o produto deles é 729 e a soma é 39. Calcule estes números.

Solução:

Neste tipo de problema sobre PG é conveniente representar a sequência na forma $\left ( \frac{x}{q}, x.xq\right )$ . Assim temos o seguinte sistema de equações:

$\frac{x}{q}, x.xq =729$
$\frac{x}{q} + x+xq =39$

Simplificando o sistema encontramos:

$x^3 = 729$
$\frac{x}{q} + x+xq =39$

Da primeira equação encontramos x = 9, substituindo na segunda equação, vem:

$\frac{9}{q}+9+9q=39 \rightarrow 9+9q +9q^2=39q$
$9q^2-30q+9=0$
$q = 3$ ou $q = \frac{1}{3}$

Para $q = 3$ e $x = 9$ temos $(3, 9, 27)$ .

Para $q=\\frac{1}{3}$ e $x=9$ temos $(27, 9, 3)$ .

B) Determine a PG de quatro termos, sabendo que o produto de todos os seus termos é 256 e o produto do segundo termo pelo quarto termo é 64.

Solução:

É conveniente representar uma PG de quatro termos da seguinte maneira:

$\left ( \frac{x}{t^3}, \frac{x}{t},x.t,x.xt^3 \right )$

Pelo enunciado temos que:

$\frac{x}{t^3}, \frac{x}{t},xt.x^3 =256$
$xt3.xtxt.xt3=256$

$x^4 = 256 \rightarrow x = 4$ ou $x =-4$ .

Como o produto do segundo termo pelo quarto termo é 64 temos que:

$\frac{x}{t}\: .\: xt^3 =64$
$x^2\: .\: t^2=64$
$16\: .\: t^2 =64 \rightarrow t^2=4$

$T = 2$ ou $t = -2$

Substituindo $x$ e $t$ , por $4$ e $2$ ou, por $4$ e $-2$ ou, por $-4$ e $2$ ou, $-4$ e $-2$ , obtemos as seguintes progressões:

$(\frac{1}{2},2,\: 8,\: 32)$ ou $(\frac{-1}{2},2,\:- 8,\:- 32)$

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar ou inserir k meios geométricos entre os números a e b dados, significa construir uma PG com k+2 termos, em que a é o primeiro termo e b é o último.

$a_1 = a \: na= b\: n=k+2\left \right \} \rightarrow q=???$

Geralmente resolve–se esse problema calculando–se a razão através do termo geral.

PRODUTO DOS TERMOS

Sendo a PG $(a_1, a_2, a_3, ...., a_n, ...)$ o produto P_n de seus n primeiros termos, é dado por:

$P_n =\sqrt{(a_1.a_n)^n}$ se o número de termos negativos for par.

$P_n = -\sqrt{(a_1.a_n)^n}$ se o número de termos negativos for ímpar.

Se preferir, podemos calcular de uma forma que já nos dê a resposta com o sinal adequado:

$\mathrm{P_n = (a_1)^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}}}$
$Pn=(a1)n.qn.(n-1)2$

Exemplos:

A) Interpole 3 meios geométricos entre $\frac{1}{2}$ e $128$ .

Solução:

Inserindo três meios geométricos entre $\frac{1}{2}$ e $128$ formaremos uma PG com cinco termos, onde $a_1=\frac{1}{2}$ e $a_5=128$ , temos então que $a_5 = a_1 . q^4$ $128 = \frac{1}{2} .q^4 \rightarrow q^4 = 256$ .