PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Consideremos a sequência (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20). Observemos que, a partir do seu segundo termo a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é constante.

Sequências como esta são chamadas progressões aritméticas (PA). A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 3. Podemos, então, dizer que:

“Progressão aritmética (PA) de razão r é a sequência numérica na qual a diferença entre um termo qualquer, a partir do segundo, e seu antecessor é sempre igual a  e  .

Observe alguns exemplos de PA

R = 4 → PA crescente.

R = – 3 → PA decrescente

R = 0 → PA constante

TERMO GERAL

Numa PA podemos afirmar que:

…..

Por definição, todas as equações são verdadeiras. Somando sentenças verdadeiras obtemos outra sentença verdadeira. Somando as linhas do a₂ até a_n (observamos que são n-1 linhas), temos:

Exemplos:

1) Dada a PA (5, 12, 19…) determine seu 11° termo.

Solução:

Nessa PA e , aplicando a definição temos:

2) Determine o 12° termo da PA (- 4, 1, 6, …)

Solução:

Com relação à PA dada, temos que  e . Aplicando o termo geral temos que  

3) Numa PA o primeiro termo é 5 e o oitavo 33. Determine a razão e o sexto termo dessa sequência.

Solução:

Para calcular o sexto termo usamos o termo geral:

PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, será a média aritmética do seu antecessor com o seu sucessor.

O termo médio é a média aritmética de outros dois termos.

Por exemplo, se  então .

Obs: Para existir termo médio entre p e k, a soma p + k deve ser par.

FORMAS SIMÉTRICAS DE ESCRITA PARA PA.

Com uma quantidade ímpar de termos:

razão .

Com uma quantidade par de termos:

  razão .

Exercícios resolvidos.

1. Obtenha o valor real de x para que a sequência (x – 5, 8, 2x – 6) seja uma PA.

Solução:

Numa PA de três termos o termo do meio é a media aritmética dos dois extremos.

Portanto,

2. Vamos encontrar três termos em PA cuja soma seja 33 e o produto 440.

Solução:

A PA procurada é:

Devemos ter:

Soma: 

Produto:

 ou

Temos então, duas PAs que atendem as condições impostas pelo problema.

Para 

Para

3) Vamos construir uma PA de quatro termos em que a soma dos dois primeiros é – 8 e a soma dos dois últimos é 16.

Solução:

Os termos procurados são .

Do enunciado temos:

daí vem:

Resolvendo por adição:  e

Assim, a PA é

SOMA DE TERMOS DE UMA PA

A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por:

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre os números a e b significa construir uma PA, com (k+2) termos, onde a é o primeiro e b é o último.

Geralmente resolve-se esse problema calculando-se a razão através da fórmula do termo geral.

Exemplos:

1)  Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA

Solução:

 e 

Vamos determinar o termo .

2. Numa PA cujo primeiro termo é 2, a soma dos trinta primeiros termos é 2670. Determine a razão dessa sequência.

Solução:

Calculemos inicialmente o 30° termo dessa progressão:

Aplicando a formula da soma dos n primeiros termos para os trinta primeiros, vem:

.

3. Resolva a seguinte equação, observando que as parcelas de seu primeiro membro forma uma PA: 3 + 7 + 11 + … + x = 465

Solução:

As parcelas do primeiro membro constituem uma PA tal que ,  e

Temos, então, que:

Daí, tiramos a seguinte equação:

ou  (Não pode)

Sendo , concluímos que:

4. Inserindo 7 meios aritméticos entre os números 4 e 52, nesta ordem, qual será a razão da PA obtida?

Solução:

Inserindo 7 termos entre 4 e 52 obtemos uma PA de 9 termos, tal que:

e

Utilizando, o termo geral vem: