PROBABILIDADE CONDICIONAL

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio. Iremos usar o símbolo para representar a probabilidade do evento A ocorrer, sabendo que o evento B já aconteceu. Chamaremos de probabilidade condicional, uma vez que, nesse caso, o evento A ocorrer está condicionado a ocorrência do evento B. Dessa forma B passa a ser o novo espaço amostral. Isso nos motiva a seguinte definição:

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$P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$ , desde que $n(B)\neq 0$ .

Na igualdade anterior, se dividirmos numerador e denominador por $n(\Omega)$ , teremos:

$P(A|B)=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(\Omega )}}{\frac{n(B)}{n(\Omega)}}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ ,

Assim, podemos também calcular a probabilidade condicional através da fórmula:

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ , desde que $P(B)\neq 0$ .

Concluímos então, que temos duas maneiras de calcular a probabilidade condicional P(A/B).

É importante salientar que, em geral, resolveremos os problemas de probabilidade condicional sem preocupação com fórmulas novas, e sim usando o conceito inicial de probabilidade, com o devido cuidado em designar o conjunto que cumprirá o papel de espaço amostral.

Exercícios Resolvidos

1) Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado civil, de acordo com a tabela abaixo:

SEXO	SOLTEIRO	CASADO	DESQUITADO	VIÚVO	TOTAL
MASCULINO	10	20	6	4	40
FEMININO	15	25	7	3	50
TOTAL	25	45	13	7	90

Uma pessoa é escolhida ao acaso, calcule a probabilidade de que ela seja solteira, sabendo que ela é do sexo masculino.

Resolução:

Considere os seguintes eventos:

S = conjunto das pessoas solteiras

M = conjuntos das pessoas do sexo masculino

Estamos interessados em calcular a probabilidade do evento S ocorrer, sabendo que o evento M já aconteceu. Isto é, escolhendo-se um homem ao acaso, qual a probabilidade de ele ser solteiro?

Nesse caso, o conjunto das pessoas do sexo masculino passa a ser nosso novo espaço amostral. Pela tabela temos $n(M)=40$ .

Estamos interessados no evento, homem e solteiro. Como existem 10 homens solteiros, $n(S\cap M)=10$ .

Assim, a probabilidade pedida será $P(S|M)=\frac{n(S\cap M)}{n(M)}$

$P(S|M)=\frac{10}{40}$
$P(S|M)=\frac{1}{4}$

2) Um grupo de 30 pessoas é classificado de acordo com o sexo e a cor dos olhos, de acordo com a tabela.

	Olhos azuis	Olhos castanhos	Total
Masculino	1	9	10
Feminino	5	15	20

Uma pessoa é escolhida ao acaso, calcule a probabilidade de:

A) ser do sexo masculino;

B) ser do sexo masculino, sabendo que tem olhos azuis.

Resolução:

M = conjunto das pessoas do sexo masculino

A = conjuntos das pessoas com olhos azuis

A) a probabilidade de ser do sexo masculino é imediata, $P(M)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}.$

B) Estamos interessados em calcular a probabilidade do evento M ocorrer, sabendo que o evento A já aconteceu. Isto é, escolhendo-se uma pessoa de olhos azuis ao acaso, qual a probabilidade de ser homem?

Nesse caso, o conjunto das pessoas de olhos azuis passa a ser nosso novo espaço amostral. Pela tabela temos $n(A)=6$ .

Estamos interessados no evento, homem com olhos azuis. Como existe apenas 1 homem com olhos azuis, $n(M\cap A)=1$ .

Assim, a probabilidade pedida será $P(M|A)=\frac{n(M\cap A)}{n(A)}=\frac{1}{6}$ .

EVENTOS INDEPENDENTES

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um espaço amostral finito e não vazio. Dizemos que $A$ e $B$ são eventos independentes quando a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro.

Nesse caso, $P(A|B)= P(A)$ . Além disso, teremos também que $P(B|A)= P(B)$ .

Observação:

Quando a ocorrência do evento B, influenciar na ocorrência do evento A, diremos que A depende do B. Em símbolos, se A depende do B, teremos $P(A|B)\neq P(A)$ .

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

Uma importante ferramenta que surge como consequência imediata da probabilidade condicional é a multiplicação de probabilidades.

Considere A e B dois eventos não vazios, de um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio. Temos que:

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\rightarrow P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\rightarrow P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

Dessa forma, a probabilidade de dois eventos $A$ e $B$ ocorrerem simultaneamente, é produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado que o primeiro já ocorreu.

Com base nisso, podemos provar que:

A e B são eventos independentes se, e somente se, $P(A|B)=P(A)$ .

Demonstração:

De fato, suponha $A$ e $B$ são eventos independentes. Então $P(A|B)=P(A)$ .

Aplicando na multiplicação de probabilidades, temos:

$P(A\cap B)=P(B)\cdot(A/ B)$ , em que $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Concluímos assim que, se $A$ e $B$ são eventos independentes, então $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Por outro lado, suponha agora que $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\, \, \, \, \, (I)$

Da multiplicação de probabilidades, sabemos que $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)\, \, \, \, \, (II)$

Logo, de $(I)$ e $(II)$ temos que $P(A|B)=P(A)$ , o que equivale a dizer que $P(B|A)=P(B)$ , sendo assim $A$ e $B$ são eventos independentes.

Como queríamos demonstrar.

Observação

Quando P(A $\cap$ B) ≠ P(A) . P(B) diremos que os eventos são dependentes.

Exercício resolvido

1) Uma urna possui 4 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas desta urna, determine a probabilidade das duas serem brancas, se as bolas tiverem sido retiradas com reposição.

Resolução:

A probabilidade da 1^a bola ser branca é $\frac{4}{7}$ . Como houve reposição da bola, a probabilidade da 2^a bola ser branca também vale $\frac{4}{7}$ . Para calcularmos a probabilidade da 1^a branca e 2^a branca, pela multiplicação de probabilidades, teremos:

$P(1^{a}B\cap 2^{a}B)=P(1^{a}B)\cdot P(2^{a}B)=\frac{4}{7}\textup{x}\frac{4}{7}=\frac{16}{49}$

Repare que o 1^o evento não influenciou a probabilidade do 2^o evento, logo, são eventos independentes.

2) Uma urna possui 4 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas desta urna, determine a probabilidade das duas serem brancas, se as bolas tiverem sido retiradas sem reposição.

Resolução:

A probabilidade da 1^a bola ser branca é $\frac{4}{7}$ . Neste caso, não ocorre reposição. Como já retiramos uma bola da urna, agora ela só tem 6 bolas na urna. Como a 1^a bola retirada era branca, agora só temos 3 bolas brancas na urna, logo, a probabilidade da 2^a ser branca é $\frac{3}{6}$ .

$P(1^{a}B\cap 2^{a}B)=P(1^{a}B)\cdot P(2^{a}B)=\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{12}{42}=\frac{2}{7}$

3) Uma urna possui 4 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas desta urna, sucessivamente e sem reposição, calcule a probabilidade de as bolas possuírem cores diferentes.

Resolução:

Se as duas bolas terão cores diferentes, então uma será branca e a outra será preta. Como iremos retirar duas bolas sucessivamente e sem reposição, temos dois casos a considerar:

1^a bola branca e a 2ª bola preta: $\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{2}{7}$