O CONCEITO DE POTÊNCIA

Potência de expoente n (inteiro e maior do que 2) de um número real b, é o produto de n fatores iguais a b e representados por bⁿ.

bⁿ = b × b × b × b … × b⏟_{n fatores}, em que b é a base e n o expoente, ou seja, a potência é um produto de fatores idênticos.

Exemplo:

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3

Observe a leitura: três elevado à quarta potência.

Representação e nomenclatura:

expoente 3⏟4⏞ base = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 → potência

Propriedades da potenciação:

 Multiplicação de potências de mesma base

Repete-se a base e somam-se os expoentes: bm×bn=bm+n

Exemplos:

2³×2⁴=23⁺⁴=2⁷

3⁵×3⁶=3⁵⁺⁶=3¹¹

Divisão de potências de mesma base

Repete-se a base e subtraem-se os expoentes: bmbn=bm-n

Exemplos:

5²÷5⁶=5^2-6=5^-4 (mais a frente veremos o que isso significa)

Multiplicação de potências com o mesmo expoente

Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente: am.bm=(a.b)m

Exemplos:

2⁷.3⁷=(2.3)⁷=6⁷

5⁴.7⁴=(5.7)⁴=35⁴

Divisão de potências com o mesmo expoente

Dividem-se as bases e conserva-se o expoente:

Exemplos:

 Potência com expoente zero

Toda potência com expoente zero e base diferente de zero é igual a um:

b⁰=1, se b≠0

Exemplos:

2⁰=1

5⁰=1

 Potência com expoente um

Toda potência com expoente um é igual a base: b¹=b

Exemplos:

2¹=2

5¹=5

0¹=0

Potência de potência

Repete-se a base e multiplicam-se os expoentes: (b^m)ⁿ=b^m×n

Exemplos:

(3²)⁵=3^2×5=3¹⁰

Potência com potências no expoente

Repete-se a base e resolvem-se as potências de cima para baixo (ou da direita para a esquerda): b^mn=b^m.m.m…m

Exemplos:

3²⁴=3^2×2×2×2=3¹⁶

Potência com base 10 (usamos na notação científica)

É igual ao número 1 seguido de tantos zeros quantos forem as unidades do expoente:

10^m=10…000, m zeros

Exemplos:

10⁵=100000

10⁸=100000000

Potência com expoente negativo

Inverte-se a base e o expoente fica positivo:

Exemplos:

RAIZ DE UM NÚMERO REAL

Dados um número real a e um número natural n (maior ou igual a 2), chamamos de raiz n-ésima do número a o número real b, tal que: .

Representação e nomenclatura:

Na igualdade  temos que:

a → radicando

b → raiz

n → índice do radical

Exemplos:

Observação:

Não está definida no conjunto dos números reais a raiz de índice par de um número positivo. Estudaremos esses casos futuramente com a apresentação do conjunto dos números complexos.

Propriedades dos radicais

Se a, b∈R₊ e m, n e p∈N*, temos que:

1 – Simplificação: 

Exemplos:

2 – Raiz de uma potência com índice múltiplo do expoente (ou com fatores comuns)

Exemplos:

3 – Produto de radicais de mesmo índice:

Mantemos o radical e multiplicamos os radicandos.

Exemplos:

4 – Divisão de radicais de mesmo índice:

Mantemos o radical e dividimos os radicandos.

Exemplos:

5 – Raiz de uma raiz:

Mantemos o radicando e multiplicamos os índices.

Exemplos:

6 – Potência de um radical:

Introduzimos o expoente no radical.

Exemplos:

Expoentes fracionários

Todo número elevado a um expoente fracionário da forma , com n ≠ 0, é igual à raiz n-ésima do número real b elevado ao expoente m, isto é: , n é natural e maior do que 2.

OPERAÇÕES COM RADICAIS 

Antes de fazer operações com radicais, algumas vezes, será necessário manipulá-los. Para isso é preciso saber como inserir (ou retirar) fatores de um radical e também reescrever modificando o seu índice.

Resumindo, para operar com radicais é necessário saber:

1 – Radicais semelhantes → são radicais que apresentam o mesmo índice e o mesmo radicando.

2 – Reduzir radicais ao mesmo índice → Para reduzir radicais a um mesmo índice devemos buscar um múltiplo comum aos índices de todos os radicais considerados (MMC), e utilizar as propriedades apresentadas anteriormente.

3 – Introduzir um fator num radical → Para introduzir um fator externo num radical devemos eleva-lo ao índice do radical apresentado.  

Adição e subtração

A regra básica é a de que a adição e a subtração entre radicais só são permitidas caso os radicais sejam semelhantes.

Exemplo:

Multiplicação e divisão

A regra básica para multiplicação e divisão é a de que só podemos efetuar essas operações com radicais de mesmo índice.

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Quando o denominador de uma fração possui radicais irredutíveis (note que são irracionais) é conveniente racionalizar o denominador transformando a fração numa fração equivalente cujo denominador seja uma expressão racional. A expressão que utilizamos para transformar essa fração numa outra equivalente (multiplicando o numerador e o denominador) damos o nome de fator racionalizante.

Veremos agora apenas os casos mais simples que são cobrados em questões de vestibulares (caso esteja estudando para concursos militares é recomendado estudar outros casos).

1 – o denominador é um radical de índice 2.

O fator racionalizante de  é o próprio  pois 

2 – o denominador é um radical qualquer.

O fator racionalizante de  é   pois