NÚMEROS COMPLEXOS 1

Ao resolver uma equação do 2º grau podemos obter três resultados, dependendo do valor do discriminante:

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∆ > 0, duas raízes reais diferentes.

∆ = 0, uma raiz real.

∆ < 0, nenhuma raiz real.

Resolvendo a equação do 2º grau dentro do universo dos números reais, os casos em que

∆ < 0 não podem ser resolvidos, pois não existe raiz de número negativo dentro do conjunto dos números reais.

O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo.

Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então $i^*i=-1$ , isto é, $i^2=-1$ .

Representamos um número complexo $z=(x,y)\, \textup{sendo}\, x\in R\, \textup{e}\, y\in R$ , na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z.

Exemplos:

z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4

z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2

A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma:

$x^2+81=0\,$ (Equação incompleta do 2º grau)

$x^2=-81$
$x=^+_-\sqrt{-81}$

Temos

$(^+_-9)^2=(^+_-9)^2\cdot i^2=81 \cdot (-1)=-81$
$x=^+_-9i$

$2x^2 - 16x + 50 = 0$ (Equação completa do 2º grau)

$a=2,b=-16,c=50$
$\Delta =b^2-4ac$
$\Delta =(-16)^2-4\cdot 2\cdot 50$
$\Delta =256-400$
$\Delta =-144$

Temos $(^+_-12i)^2=144i^2=144^*(-1)=-144$

$x=\frac{-b^+_-\sqrt{\Delta }}{2a}$
$x=\frac{16^+_-\sqrt{-144}}{4}$
$x=\frac{16^+_-12i}{4}$
$x'=4+3i\,\, \textup{e}\, \, x''=4-3i$

A FORMA ALGÉBRICA

Um número complexo é formado por um par ordenado (a, b). Os valores correspondentes a e b são valores que pertencem ao eixo das abscissas e eixo das coordenadas respectivamente. Graficamente, a sua representação ficaria assim:

P é o ponto de coordenadas (a, b) que é o número complexo é chamado de afixo. A forma algébrica pela qual representamos esse número complexo será a + bi, como a e b R.

A forma algébrica de representar um número complexo é mais prática e mais utilizada nos cálculos.

Ao indicarmos um número complexo na sua forma algébrica fazemos da seguinte forma:

z = a + bi

z é um número complexo qualquer.

a é a parte real do número complexo z.

b é a parte imaginária do número complexo z.

O conjunto dos números que formam a parte real é representado por Re (z).

O conjunto dos números que formam a parte imaginária é representado por Im (z).

Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo:

$\cdot z=-3+5i$
$Re(z)=-3$
$Im(z)=5$
$\cdot z=\frac{1}{2}$
$Re(z)=\frac{1}{2}$
$Im(z)=0$
$\cdot z=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt2i}{2}$
$Re(z)=\frac{-1}{2}$
$Im(z)=\frac{\sqrt2}{2}$

a e b podem assumir qualquer valor real, dependendo do valor que eles assumirem o número complexo irá receber um nome diferente

Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número complexo é imaginário.

Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo é imaginário puro.

Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo será real.

Para encontrar o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer número complexo é preciso obedecer algumas regras.

OPOSTO

O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, então o oposto de 5 é -5, o oposto de -2,5 é +2,5. O oposto de um número complexo não é diferente, pois o oposto do número complexo z será – z.

Por exemplo:

Dado o número complexo z = 5 – 2i, o seu oposto será:

– z = – 5 + 2i.

CONJUGADO

Podemos dizer que conjugado é o mesmo que em um número complexo pegarmos o oposto da parte imaginária. Pois se tiver um número complexo qualquer z = a + bi o seu conjugado (representado por Z ) será z = a – bi.

Exemplo:

z = 2 – 5i, o seu conjugado será = 2 + 5i.

z = – 5 – 6i, o seu conjugado será = – 5 + 6i.

IGUALDADE

Dois números complexos serão iguais quando parte imaginaria igual à parte imaginaria e parte real igual à parte real, veja:

Dado dois números complexos z₁= a + bi e z₂= d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d e bi = ei.

MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO

O módulo de um numero complexo é calculado como sendo a distancia do afixo a origem do sistema.

Dessa forma, temos que se z = a + bi então o modulo de z, (representado por |z|) pode ser calculado por: $\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}$ , também pode ser chamado pela letra grega ρ (Rô).

ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Chamamos de argumento de um numero complexo o ângulo que ρ faz com eixo dos reais, observe a figura.

OBSERVAÇÕES

A soma de números complexos opostos será sempre igual a zero.

$z+(-z)=0$

O conjugado do conjugado de um número complexo é o próprio número complexo.

$\bar{z}=z$

Não podemos dizer que um número complexo é maior ou menor que outro número complexo, ou seja, entre o conjunto C não existe relação de ordem.

Exercícios resolvidos.

1) Determine o valor de k para que z = k + 1 + (k² – 1), seja: Imaginário.

Solução:

Antes devemos identificar quem é a parte real e a imaginária.

$a=k+1\, \textup{(parte real)}$
$b=k^2-1\, \textup{(parte imagin\'aria)}$

Um número complexo imaginário a ≠ 0 e b ≠ 0, então dizemos que:

$\begin{matrix} k+1\neq 0 & &k^2-1\neq 0 \\ k\neq -1\, \, \, \, \, \, & &k^2\neq 1\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ k\neq ^+_-1\, \, \, \, \, \, \, & & \end{matrix}$

Portanto, para que $z=k+1+(k^2-1)$ seja imaginário $k\neq ^+_-1$ .

Imaginário puro.

Para que um número complexo seja imaginário puro a = 0 e b ≠ 0, então podemos dizer que:

$\begin{matrix} k+1=0 & & k^2-1\neq 0\\ k=-1 \, \, \, \, \, \, & &k^2\neq 1\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ k\neq ^+_-1\, \, \, \, \, \, \, \, & & \end{matrix}$

Nesta situação, nenhum valor que k assumir tornará o número complexo $z=k+1+(k^2-1)$ um imaginário puro.

2) Dado o número complexo $z=-1\sqrt2i$ , calcule:

a) O seu oposto.

b) O seu conjugado

c) O posto do conjugado

Solução:

a) $-z=1-\sqrt{2}i$

b) $z=-1-\sqrt2i$

c) $z=-1-\sqrt2i$

$-z=1+\sqrt{2}i$

3) Determine a e b de modo que

$-1+4i=\overline{a+bi}$ .

Solução:

$-1+4i=\overline{a+bi}$

$-1+4i=a-bi$ , para que esses dois números complexos sejam iguais as partes reais deverão ser iguais e as partes imaginárias deverão ser iguais, então:

a = – 1

b = – 4

OPERAÇÕES

Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária

ADIÇÃO

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2

a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i.

SUBTRAÇÃO

Dado dois números complexos quaisquer z₁ = a + bi e z₂ = c + di, ao subtraímos teremos:

z₁ – z₂

(a + bi) – (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i.

MULTIPLICAÇÃO

Dado dois números complexos quaisquer z₁ = a + bi e z₂ = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z₁. z₂

(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2

ac + adi + bci + bd (-1)

ac + adi + bci – bd

ac – bd + adi + bci

(ac – bd) + (ad + bc)i

Portanto, z₁ . z₂ = (ac + bd) + (ad + bc)i.

DIVISÃO

Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como:

Dado dois números complexos z₁ e z₂, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra:

Exemplo:

De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por:

Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será:

Exercícios resolvidos

1) Dados dois números complexos z₁ = 6 + 5i e z₂ = 2 – i, calcule a sua soma:

Solução:

(6 + 5i) + (2 – i)

6 + 5i + 2 – i

6 + 2 + 5i – i

8 + (5 – 1)i

8 + 4i

Portanto, z₂ + z₂ = 8 + 4i.

2) Dados dois números complexos z₁ = 4 + 5i e z₂ = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

Solução:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)

4 + 5i + 1 – 3i

4 + 1 + 5i – 3i

5 + (5 – 3)i

5 + 2i

Portanto, z₁ – z₂ = 5 + 2i.

3) Dados dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 – i, calcule a sua multiplicação:

Solução:

(5 + i) . (2 – i)

5 . 2 – 5i + 2i – i2

10 – 5i + 2i + 1

10 + 1 – 5i + 2i

11 – 3i

Portanto, z₁ . z₂ = 11 – 3i.

4) Dados dois números complexos z₁=2 e z₂= -1 + i, calcule a divisão de z₁ por z₂:

Solução:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{-1+i}$
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{-1+i}\cdot \frac{(-1-i)}{(-1-i)}=\frac{-2-2i}{1+i-i-i^2}$
$\frac{-2-2i}{1+1}=\frac{-2-2i}{2}=-1-i=\frac{z_1}{z_2}$