O Algoritmo da divisão

Em toda divisão, o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente e somado com o resto. (D = d x q + r)

Note que D é o dividendo, d é o divisor, q o quociente e r o resto.

Exemplo:

Efetue a divisão 45 por 7.

Observe que 45 = 7 x 6 + 3

O maior resto que podemos obter em uma divisão é sempre o antecessor do divisor.

Exemplo:

Numa divisão por 5 o maior resto possível é 4.

Em uma divisão, quando multiplicamos (ou dividimos), o dividendo e o divisor por um mesmo número (não nulo), o quociente não se altera porém o resto se modifica, ficando multiplicado (ou dividido) por esse mesmo número.

Exemplo:

Considere a divisão proposta anteriormente: 45 ÷ 7

Se multiplicarmos por 3 o dividendo e o divisor teríamos 135 ÷ 21.

Observe que 135 = 21 x 6 + 9, isto é, o quociente se manteve 6 mas o resto ficou multiplicado por 3.

Números primos

Chamaremos de número primo absoluto aquele número que só é divisível por um e por ele mesmo, isto é, que possui exatamente dois divisores naturais.

Existem infinitos números primos, veja abaixo a sequencia dos primeiros primos absolutos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…

Quando um número possui mais de dois divisores ele é chamado de número composto.

Divisibilidade

Um número a é divisível por um número b quando a divisão de a por b dá um quociente inteiro e resto zero. É importante notar que as vezes será mais conveniente dizer que a é múltiplo de b, ou ainda que b é divisor de a.

Exemplo:

Observe que 18 é divisível por 6, pois a divisão de 18 por 6 deixa resto zero. Dessa forma, podemos também dizer que 18 é múltiplo de 6 ou que 6 é divisor de 18.

Critérios de divisibilidade

Por 2 → Um número é divisível por 2 quando for par, isto é, quando o algarismo das unidades for 0, 2, 4 , 6 ou 8.

Exemplos:

85734 é divisível por 2 pois o algarismo das unidades é 4.

198257 não é divisível por 2 pois o algarismo das unidades é o 7.

Por 3 → Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos resulta em um múltiplo de três.

Exemplos:

128673 é divisível por 3 pois 1 + 2 + 8 + 6 + 7 + 3 = 27 e 27 = 3 x 9 e portanto é um múltiplo de 3.

93746 não é múltiplo de 3 pois 9 + 3 + 7 + 4 + 6 = 29 e 29 não é múltiplo de 3.

Por 4 → Um número é divisível por 4 quando o número formado por seus dois últimos algarismos for um múltiplo de 4.

Exemplos:

873537492372 é divisível por 4 pois 72 = 4 x 18 e portanto múltiplo de 4.

1837362717 não é divisível por 4 pois 17 não é múltiplo de 4.

Por 5 → Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.

Exemplos:

1450 é divisível por 5 pois o algarismo das unidades é 0.

87265 é divisível por 5 pois o algarismo das unidades é 5.

192836 não é divisível por 5 pois o algarismo das unidades não é 0 nem 5.

Por 6 → Um número é divisível por 6 quando for simultaneamente divisível por 2 e por 3.

Por 8 → Um número é divisível por 8 quando o número formado por seus três últimos algarismos for um múltiplo de 8. (Semelhante ao critério do 4)

Por 9 → Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos resulta em um múltiplo de nove. (Semelhante ao critério do 3)

Por 10 → Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades for 0.

Decomposição em fatores primos

Decompor em fatores primos, ou fatorar, é escrever o número sob a forma de produto de fatores primos.

O método mais comum de fatoração consiste na divisão sucessiva por repetidos números primos e depende muitas vezes de tentativas.

Exemplos:

Máximo Divisor Comum

Considere o conjunto dos divisores positivos de dois números, 36 e 60.

D₃₆ = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

D₆₀ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}    

Observe o conjunto dos divisores comuns desses dois números: {1, 2, 3, 4, 6, 12}

É fácil perceber que o maior elemento desse conjunto é o número 12 e, portanto, o máximo divisor comum. Escrevemos que o MDC(36, 60) = 12. Note que o MDC não é o único divisor comum e sim o maior deles.

Como obter o MDC?

ALGORITMO DE EUCLIDES

1˚ – Divide-se o maior número pelo menor. Depois o menor número pelo resto obtido na divisão anterior. Em seguida o resto da primeira divisão pelo resto da segunda. Em seguida o resto segunda pelo resta da terceira e assim sucessivamente até encontrar resto zero.

2˚ – O último divisor encontrado é o máximo divisor comum.

Exemplo:

Determine o mdc(210, 120)

Montando o algoritmo:

Após a primeira divisão:

Observe que a primeira linha é usada para colocar os quocientes e a terceira para colocar os restos. Repetimos o resto ao lado do menor número e seguiremos com o processo:

Dividimos novamente:

Repetimos o resto 30 e efetuamos mais uma divisão:

Como o resto encontrado é igual a zero segue que 30 é o mdc entre os dois números.

Decomposição simples

Outro método para o cálculo do mdc é a fatoração. Devemos decompor os números dados e buscar os fatores comuns encontrados, elevados com os seus menores expoentes.

Veja o exemplo anterior resolvido de outra forma:

Note que 210 = 2 x 3 x 5 x 7 e 120 = 2³ x 3 x 5, se tomarmos os fatores comuns e seus menores expoentes encontramos 2 x 3 x 5 = 30 que é o mdc dos dois números conforme já havíamos calculado.

Mínimo Múltiplo Comum

Considere o conjunto dos múltiplos positivos de dois números, 15 e 20.

M₁₅ = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}

M₂₀ = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, …}

Observe o conjunto dos múltiplos comuns desses dois números: {0, 60, 120, …}

É fácil perceber que o menor elemento positivo desse conjunto é o número 120 e, portanto, o mínimo múltiplo comum. Escrevemos que o MMC(15, 20) = 120. Note que o MMC não é o único múltiplo comum e sim o menor positivo deles.

Como obter o MMC?

Decomposição simples

Um método muito comum para o cálculo do mmc é a fatoração. Devemos decompor os números dados e multiplicar todos os fatores encontrados, elevados com os seus maiores expoentes.

Exemplo:

Vamos determinar o mmc(18, 30)

Observe que 18 = 2 x 3² e que 30 = 2 x 3 x 5, o mmc(18, 30) será o produto entre todos os fatores e seus maiores expoentes, no caso, 2 x 3² x 5 = 90
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