MATRIZES

Aprenda sobre Operações com Matrizes e Propriedades da Adição.

MATRIZES

São tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos.

Nas matrizes, cada número é chamado termo ou elemento da matriz, as filas horizontais são chamadas linhas e as filas verticais são chamadas colunas.

Exemplos:

$\begin{pmatrix} 10 & 1 & 6 & 7\\ -8 & 3 & 4 &-9 \\ 5 & 9 & -10 & 2 \end{pmatrix}$ ou $\begin{bmatrix} 10 & 1 & 6 &7 \\ -8 & 3 & 4 &-9 \\ 5 & 9 & -10 & 2 \end{bmatrix}$

ORDEM (OU TIPO) DA MATRIZ.

É indicado pelo número de linhas e colunas, nesta ordem. Quando a matriz possui 3 linhas e 4 colunas, como no exemplo anterior. Dizemos que essa matriz é do tipo 3 x 4, ou de ordem 3 x 2. Lê-se três por quatro.

Cada elemento ocupa uma posição definida por sua linha e por sua coluna, nessa ordem.

^{Representação genérica.}

De um modo geral, uma matriz A de m linhas e n colunas (m x n) pode ser representada, desta forma:

Uma forma simplificada de fazer a representação é:

A = [ a_ij ]_mxn, sendo m, n $\in$ IN*.

onde:

a_ij = elemento da matriz, sendo os índices i e j indicadores da posição que o elemento ocupa na matriz.

o índice i indica a linha, 1 $\leq$ i $\leq$ m.

o índice j indica a coluna, 1 $\leq$ j $\leq$ m.

Exemplos:

a) o elemento a24 (lê-se: a dois quatro) ocupa a posição a segunda linha e quarta coluna.

b) o elemento a31 (lê-se: a três um) ocupa a posição a terceira linha e primeira coluna.

Exercício resolvido

1) Construa a matriz A = [ a_ij ]_2×3, tal que a_ij = – 2i + 3j.

Solução:

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$

a₁₁ = – 2 . 1 + 3 . 1 = – 2 + 3 = 1

a₁₂ = – 2 . 1 + 3 . 2 = – 2 + 6 = 4

a₁₃ = – 2 . 1 + 3 . 3 = – 2 + 9 = 7

a₂₁ = – 2 . 2 + 3 . 1 = – 4 + 3 = – 1

a₂₂ = – 2 . 2 + 3 . 2 = – 4 + 6 = 2

a₂₃ = – 2 . 2 + 3 . 3 = – 4 + 9 = 5

$A=\begin{pmatrix} 1 &4 & 7\\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

TIPOS DE MATRIZES.

Matriz linha.

Possui uma única linha, ou seja, sua ordem é 1 x n.

Exemplo: A= [5 -7 2] = A_1×3

Matriz coluna.

Possui uma única coluna, ou seja, sua ordem é m x 1.

Exemplo: $B=\begin{bmatrix} 8\\ -1 \end{bmatrix}=B_{2\, \textup{x}\, 1}$

Matriz nula.

Possui todos os seus elementos iguais a zero. Geralmente indicaremos a matriz nula por 0_mxn (zero m por n).

Exemplo: $0_{2\textup{x}3}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$

Matriz quadrada.

Possui o mesmo número de linhas e colunas. Como m = n, dizemos que a matriz tem ordem n x n ou simplesmente que é de ordem n.

Consideremos a matriz A = [ a_ij ]_5×5 quadrada de ordem 5.

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} &a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} &a_{25} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} & a_{34} &a_{35} \\ a_{41} &a_{42} &a_{43} & a_{44} & a_{45}\\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} \end{pmatrix}$

Assim destacamos suas diagonais, sendo a diagonal principal o conjunto dos elementos a_ij em que i = j, ou seja : {a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₄₄, a₅₅} e a diagonal secundária a outra, no qual seus elementos a_ij possuem a seguinte característica i + j = n + 1, ou seja : {a₅₁, a₄₂, a₃₃, a₂₄, a₁₅}

Exemplo: $C_{\textup{2x2}}=C_2=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

Os elementos da diagonal principal são o 2 e o 5; os elementos da diagonal secundária são o 1 e o –3.

Matriz triangular.

É uma matriz quadrada que possui todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal iguais à zero.

Exemplo:

$D=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 2 & -6 & 0\\ -5 & 7& 8 \end{pmatrix}$ ou $D=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 6\\ 0 & 4 & -5\\ 0 & 0& 9 \end{pmatrix}$

Matriz diagonal.

É uma matriz quadrada que possui todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal iguais à zero.

Exemplo: $F=\begin{pmatrix} 2 &0 &0 \\ 0 & 8 &0 \\ 0& 0 & -9 \end{pmatrix}$

Matriz identidade.

É uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a um.

Exemplo: $I_2=\\begin{bmatrix}$ ou $I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$

OUTRAS MATRIZES IMPORTANTES.

Matriz oposta.

Dada uma matriz A chamamos sua oposta de –A, cujos elementos são os simétricos ou opostos dos elementos correspondentes de A.

Exemplo:

$A=\begin{pmatrix} 5 & 8 & 3\\ 6 & -7 &6 \\ -2& 9& -1\end{pmatrix}\Rightarrow -A=\begin{pmatrix} -5 & -8 & -3\\ -6 & 7 & -6\\ 2 & -9 & 1 \end{pmatrix}$

Matriz transposta.

Dada uma matriz uma matriz A de ordem m x n, chamamos de transposta de A, indicada por A^t, a matriz de ordem n x m obtida trocando-se ordenadamente suas linhas por suas colunas.

Exemplo: $\begin{pmatrix} 5 & 4\\ -8 &6 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 5 & -8 & 3\\ 4 & 6 &2 \end{pmatrix}$

Matriz simétrica.

Toda matriz quadrada A de ordem n, tal que, A^t = A.

Exemplo:

$A=\begin{pmatrix} -4 & 6 & -7\\ 6 & 1 & 3\\ -7 & 3 &-1 \end{pmatrix}\Rightarrow A^t=\begin{pmatrix} -4 & 6 & -7\\ 6 & 1 & 3\\ -7& 3 & -1 \end{pmatrix}$

Matriz anti-simétrica.

Toda matriz quadrada A de ordem n, tal que, A^t = -A.

Exemplo:

IGUALDADE DE MATRIZES.

Duas matrizes, A e B, de mesma ordem serão iguais (A = B) se e somente se, os elementos correspondentes (que ocupa a mesma posição) forem iguais, ou seja:

A = [ a_ij ]_mxn e B = [ b_ij ]_ixj.

Se A = B, temos: m = p e n = q.

$a_{ij}=b_{ij}\left\{\begin{matrix} 1\leq i\leq m & \\ 1\leq j\leq m & \end{matrix}\right.$

Exercícios resolvidos.

2) Construa a matriz A = [ a_ij ]_3×3, tal que $a_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1,\, \textup{se}\, i=j & \\ 1\leq j\leq n & \end{matrix}\right.$

Solução:

$A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3$

3) Seja a matriz $A=\begin{pmatrix} 6 & 4 &-7 \\ y & 3 & x\\ z & 9 & -2 \end{pmatrix}$ simétrica, determine os valores de x, y e z.

Solução:

Inicialmente vamos determinar a transposta de A.

$A=\begin{pmatrix} 6 & 4 & -7\\ y & 3 & x\\ z & 9 & -2 \end{pmatrix}\Rightarrow A^t=\begin{pmatrix} 6 &y & z\\ 4 & 3 & 9\\ -7& x & -2 \end{pmatrix}$

Se A é simétrica então A^t = A logo:

x = 9, y = 4 e z = – 7.

4) Determine x, y e z que satisfaçam $\begin{pmatrix} x+y & 2\\ 4 & x-y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & z\\ z^2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Solução:

Pela igualdade considerada, temos os seguintes sistemas de equações:

$\\left\\{\\begin{matrix}$
$\\left\\{\\begin{matrix}$

Lembrando que a solução do sistema é o valor numérico da incógnita que satisfaça a todas as equações envolvidas no sistema, assim z = 2.

Concluímos que x = 4, y = 3 e z = 2.

5) Determine p e q, tais que $\\begin{pmatrix}$ .

Solução:

Pela igualdade considerada, temos os seguintes sistemas de equações:

Lembrando que a solução do sistema é o valor numérico da incógnita que satisfaça a todas as equações envolvidas no sistema.

Concluímos que p = 3 e q = -4.

OPERAÇÕES COM MATRIZES.

Adição e subtração de matrizes.

Dadas duas matrizes, A e B, de mesma ordem, vamos obter a matriz resultante (soma ou diferença), C também de mesma ordem, adicionando-se ou subtraindo-se, respectivamente, os seus elementos correspondentes.

De modo geral, se A = [a_ij]_mxn, B = [b_ij]_mxn e C = [c_ij]_mxn, temos:

Adição: C = A + B Þ c_ij = a_ij + b_ij.

Subtração: C = A – B Þ c_ij = a_ij – b_ij.

com i $\in$ {1, 2, 3, …, m} e j $\in$ {1, 2, 3, …, n}.

OBSERVAÇÃO

A diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela adição da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja:

A – B = A + (-B)

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO.

Considerando matrizes de mesma ordem são válidas as seguintes propriedades:

Comutativa: A + B = B + A

Exemplo:

Dadas as matrizes, $A=\begin{bmatrix} 1 & -5\\ -3 & 4 \end{bmatrix}$ e $B=\begin{bmatrix} 3 & -2\\ 4 & -3 \end{bmatrix}$ é valido que:

A + B = B + A

Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C

Exemplo:

Dadas as matrizes, $A=\begin{bmatrix} 2 & -4\\ -6 &3 \end{bmatrix}$ , $A=\begin{bmatrix} 1 & -4\\ 2 &-5 \end{bmatrix}$ e $A=\begin{bmatrix} -2 & -1\\ 3 &-4 \end{bmatrix}$ é valido que: