ÂNGULOS

Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.

A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”.

Observe que 1˚ (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).

CLASSIFICAÇÃO DE ÂNGULOS

Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:

Agudo: ângulo com medida menor que 90˚.

Reto: ângulo com medida igual a 90˚.

Obtuso: ângulo com medida maior que 90˚.

Raso: ângulo com medida igual 180°.

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.

FEIXE DE PARALELAS

Retas paralelas cortadas por uma transversal 

ÂNGULOS CONSECUTIVOS

Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.

OBSERVAÇÃO

O último caso apresentado é especial e os ângulos são chamados de adjacentes.

TEOREMA DE TALES

Os segmentos de reta formados sobre retas transversais a um feixe de retas paralelas são proporcionais.

Dessa forma, as divisões entre os comprimentos de alguns segmentos formados nessas circunstâncias têm o mesmo resultado.

O que o teorema de Tales garante a respeito dos segmentos formados sobre as retas transversais é a seguinte igualdade:

Isto é, os segmentos determinados por um par de paralelas são proporcionais aos segmentos determinados por outro par.

TRIÂNGULOS

Triângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos.

Para que o triangulo exista, cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois.

Algumas propriedades dos triângulos:

Os triângulos possuem três vértices.

A base pode ser considerada qualquer um dos lados para o cálculo da área do triângulo. Quando é um triângulo isósceles a base, em geral, é considerada o lado diferente.

A altura é representada pela perpendicular traçada a partir do vértice oposto.

Como há três bases possíveis, há também três alturas possíveis.

A mediana de um triângulo é a ceviana traçada a partir do vértice até o ponto médio do lado oposto.

As três medianas intersectam-se em um único ponto denominado baricentro do triângulo que divide a mediana na razão 2:1 a partir do vértice.

O lado menor é sempre o oposto ao menor ângulo interno.

O lado maior é sempre oposto ao maior ângulo interno.

IMPORTANTE

A soma dos ângulos internos de um triângulo sempre vale 180˚.

A soma dos ângulos externos sempre vale 360˚.

As vértices do triângulo são representadas por letras maiúsculas, A, B, e C.

Os lados são representados por letras minúsculas, a, b, c.

CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS.

Os triângulos podem ser classificados de duas formas: pelos lados e pelos ângulos internos.

1. Classificação quanto aos lados:

Triângulo Equilátero

Todos os lados são congruentes. O triangulo equilátero também é equiângulo e por isso os ângulos internos medem 60˚.

Triângulo Isósceles

Possui dois lados iguais. Nada se afirma sobre o terceiro lado, em geral é diferente e nesses casos é chamado de base do triangulo isósceles. É importante lembrar que caso o terceiro lado seja congruente aos demais não há problema e o triangulo se encaixará na classificação anterior, isto é, será equilátero.

TODO TRIÂNGULO EQUILÁTERO É ISÓSCELES

MAS A RECÍPROCA NÃO É VERDADEIRA.

Triângulo Escaleno

Nenhum dos lados possui mesma medida.

2. Classificação quanto aos ângulos:

Triângulo acutângulo

O maior dos ângulos é menor que 90˚.

Triângulo Retângulo

O maior dos ângulos mede 90˚

Triângulo Obtuso

O maior dos ângulos é maior que 90˚

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são ditos semelhantes se os seus ângulos correspondentes forem congruentes e seus lados correspondentes possuam a mesma razão de proporcionalidade.

Para concluir que dois triângulos são congruentes usamos os casos abaixo:

1º caso: Ângulo-Ângulo (AA)

Dois triângulos são semelhantes se possuírem dois ângulos correspondentes congruentes.

Não é necessário verificar o terceiro ângulo e nenhuma proporcionalidade entre os lados. Basta que dois ângulos sejam congruentes e os dois triângulos já podem ser declarados semelhantes, observe o exemplo a seguir:

Assim, temos que os lados homólogos são proporcionais:

2º caso: Lado-Lado-Lado (LLL) 

Se dois triângulos possuem três lados proporcionais, então esses dois triângulos são semelhantes. Portanto, não é necessário verificar os ângulos.

Se  então os triângulos são semelhantes.

3º caso: Lado-Ângulo-Lado (LAL) 

Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes. 

Nesse exemplo, o ângulo assinalado fica entre os lados proporcionais. Configurando assim o caso LAL.

Todos os outros casos de semelhança são consequências

diretas desses três apresentados.

POLÍGONOS

Polígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta e são caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados, podemos classifica-los:

Os principais nomes que aparecem em concursos são:

POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO CONVEXOS

Se os ângulos do polígono forem menores que 180˚, ele será convexo.

Caso tenha um ângulo com medida maior que 180˚, ele será não convexo ou côncavo.

ÂNGULOS NOS POLÍGONOS

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende do número de lados desse polígono.

Usamos a seguinte expressão para esse cálculo: , em que n é o número de lados.

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono sempre vale 360º, observe que quanto maior o número de lados do polígono mais ele se aproxima de uma circunferência.

DIAGONAIS

A diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que liga um vértice ao outro, passando pela região limitada pelo polígono. O número de diagonais de um polígono é calculada em função do número de lados e para isso usamos a expressão:

POLÍGONOS REGULARES

Um polígono é dito regular quando possui três características:

1 – é convexo;

2 – todos os seus lados possuem a mesma medida;

3 – todos os seus ângulos são congruentes.

PROPRIEDADE ESPECIAL

Todo polígono regular é ao mesmo tempo inscritível e circunscritível em circunferências.