Geometria Espacial – Prismas e Cilindros

Aprenda sobre Prismas, Paralelepípedos, Paralelepípedo Retângulo, Diagonal do Paralelepípedo, Paralelepípedo Cubo, Prisma Regular e Cilindros.

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PRISMAS

Prismas são os poliedros convexos no qual duas faces congruentes chamadas bases estão contidas em planos paralelos distintos e as demais faces, chamadas faces laterais, são paralelogramos formados por dois lados correspondentes nas duas bases e dois lados comuns às outras duas faces adjacentes.

ELEMENTOS DO PRISMA.

Bases – S e S’ ou ABCDEF e A’B’C’D’E’F’.

Arestas da Base – $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\overline{FA} ,\overline{A'B'},\overline{B'C'},\overline{C'D'},\overline{D'E'},\overline{E'F'},\overline{F'A'}$

Arestas Laterais – $\overline{AA'},\overline{BB'},\overline{CC'},\overline{DD'},\overline{EE'}\, \textup{e}\, \overline{FF'}$ .

Faces Laterais – $ABB'A', BCC'B', CDD'C', DEE'D', EFF'E'\, e\, FAA'F'$ ‘.

Altura – h

Seção Transversal – é uma seção paralela às bases. (S’’)

Área da Base (A_B) – é área do polígono da base.

Área Lateral (A_L) – é a soma das áreas de todas as faces laterais.

Área Total (A_T) – é a soma das áreas das bases com a área lateral.

Volume (V) – é o produto da medida da área da base pela medida de sua altura.

$A_T = A_L + 2A_B \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, V = A_B . h$

PARALELEPÍPEDOS

São os prismas cujas bases são paralelogramos, consequentemente qualquer de suas faces pode ser tomada como base, pois duas faces opostas quaisquer estão situadas em planos paralelos e são ligadas por arestas paralelas entre si.

PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO.

É um prisma reto, no qual todas as suas faces são retângulos.

Como as dimensões (comprimento, largura e altura) do paralelepípedo são a, b e c.

$V = AB \cdot h = a \cdot b \cdot c \Rightarrow V = a \cdot b \cdot c$
$AT = AL + 2AB = 2ac + 2bc + 2ab \Rightarrow AT = 2 (ab + bc + ac)$

DIAGONAL DO PARALELEPÍPEDO (D).

Para encontrar D aplicaremos o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos extraídos do paralelepípedo acima.

PARALELEPÍPEDO CUBO (HEXAEDRO REGULAR).

É o paralelepípedo no qual todas as suas faces são quadrados.

PRISMA REGULAR.

É o prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

Exercícios resolvidos.

1) Considere uma cruz formada por 6 cubos idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se que a área total da cruz é de 416cm², pode-se afirmar que o volume de cada cubo é igual a:

A) 16 cm³

B) 64 cm³

C) 69 cm³

D) 26 cm³

Solução: B

Como a área total da cruz é formada por 26 quadrados que são as faces do cubo e todas as faces são quadrados de lado a, temos:

$26a^2=416\Rightarrow a^2=\frac{416}{26}\Rightarrow a^2=16\Rightarrow$
$a=^+_-\sqrt{16}\Rightarrow a=^+_-4\Rightarrow a=-4\left ( \textup{n\~ao satisfaz} \right )\Rightarrow a=4$

Portanto seu volume é: V = a³ = 4³ = 64

V = 64 cm³

2) A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sabendo-se que AB = 3 cm e BC = CD = DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma.

Solução: $[(3\sqrt{7})/4+6]\cdot 10\, cm^3$

Área da base é o pentágono ABCDE (A_ABCDE), que pode ser decomposto em um retângulo ABCE (A_ABCE) e um triângulo CDE (A_CDE).

$A_{\textup{ACBCE}}=AB\cdot BC=3\cdot 2=6\Rightarrow A_{\textup{ABCE}}=6cm^2$ .

h é a altura do triângulo, assim:

$CD^2=h^2+\left ( \frac{AB}{2} \right )^2\Rightarrow 2^2=h^2+\left ( \frac{3}{2} \right )^2\Rightarrow$
$4=h^2+\frac{9}{4}\Rightarrow h^2=4-\frac{9}{4}\Rightarrow h^2=\frac{7}{4}\Rightarrow$
$h=^+_-\sqrt{\frac{7}{4}}\Rightarrow h=^+_-\frac{\sqrt{7}}{2}\Rightarrow h=\frac{\sqrt{7}}{2}$
$A_{\textup{CDE}}=\frac{(CE\cdot h)}{2}=\frac{3\cdot \sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$
$A_{\textup{ABCDE}}=A_{\textup{CDE}}+A_{\textup{ABCE}}=\left ( \frac{3\sqrt{7}}{4}+6 \right )$

Volume do prisma de base pentagonal.

$V=A_{\textup{ABCDE}}\cdot h=\left ( \frac{3\sqrt{7}}{4} +6\right )\cdot 10\, cm^3$

3) Na figura a seguir tem-se o prisma reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE é perpendicular a EF.

Se o volume desse prisma é 120cm³, a sua área total, em centímetros quadrados, é:

A) 144

B) 156

C) 160

D) 168

E) 172

Solução: D.

Como as bases são triângulos retângulos congruentes, temos:

$DF^2=DE^2+EF^2\Rightarrow DF^2=6^2+8^2\Rightarrow DF=10$

$A_{ABC}=A_{DEF}=\frac{(DE\cdot EF)}{2}=\frac{(6\cdot 8)}{2}=\frac{48}{2}=$

$A_{ABC}=A_{DEF}=24cm^2$ .

Além disso, $V=120cm^3\, \textup{e}\, V=A_{ABC}\cdot h\Rightarrow$

$120=24\cdot h\Rightarrow h=\frac{120}{24}\Rightarrow h=5cm$

Área lateral $(AL) AL = A_{ABDE} + A_{BCFE} + A_{ACFD }=$ =

$A_L = DE\cdot h+EF\cdot h+DF\cdot h \Rightarrow$

$A_L = 6\cdot 5+8\cdot 5+10\cdot 5 \Rightarrow$

$A_L = 30 + 40 + 50 \Rightarrow A_L = 120 cm^2.$

Área total (A_T),

$AT = (A_{ABDE} + A_{BCFE} + A_{ACFD}) + (A_{ABC} + A_{DEF})$

$A_T = A_L + 2A_B = 120 + 2 \cdot 24 = 120 + 48 = 168$

$A_T = 168 cm^2.$

4) Calcule a maior distância entre dois pontos de um cubo de aresta $\sqrt{3}cm$ .

Solução:

A maior distância entre dois pontos de um cubo é dada por $d=a\sqrt{3}$ , onde $d$ é a diagonal do cubo e a é a medida da aresta. Logo $d=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3cm$ .

5) Um artista projetou uma escultura para ornamentar uma praça. A escultura será composta por vários cubos construídos com material transparente, os quais possuem 13,5 m² de superfície total cada um. O escultor deseja colocar uma barra de ferro na diagonal de cada cubo. É correto afirmar que a barra de ferro deverá ter o comprimento igual a:

A) $2,25 m$

B) $1,5 \sqrt{3}\, m$

C) $2,25 \sqrt{2}\, m$

D) $2,25 \sqrt{3}\, m$

E) $6,75 m$

Solução: B

Área total do cubo:

$A_T=6a^2\\Rightarrow$

$a^2=\frac{13,5}{6}\Rightarrow a^2=2,25\Rightarrow a=^+_-\sqrt{2,25}\Rightarrow$
$a=^+_-1,5\Rightarrow a=-1,5\, \textup{(n\~ao satisfaz)}\Rightarrow a=1,5$

Diagonal do cubo

$D=a\sqrt{3}\Rightarrow D=1,5\sqrt{3}\, m$

6) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm.

A) Calcule o volume do prisma.

B) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A’.

Solução:

A) $V = A_B\cdot h = A_H\cdot h$

Como a base é um hexágono regular que deve ser calculado como a soma das áreas de seis triângulos equiláteros de lado l e a área de um triângulo equilátero lado l é:

A_TE = área do triângulo equilátero e A_H = área do hexágono.

$A_{TE}=\frac{l^2\cdot \sqrt{3}}{4}$ então $A_H=6\cdot \frac{l^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{3l^2\cdot \sqrt{3}}{2}$

Sendo l = 5 cm, temos:

$A_H=\frac{3l^2\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 5^2\cdot \sqrt{3}}{2}$
$A_H=\frac{3\cdot 25\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{75\cdot \sqrt{3}}{2}$
$V = A_H\cdot h=\frac{75\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot 10=\frac{750\cdot \sqrt{3}}{2}$
$V = 375\sqrt{3}cm^3$

B) A secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A’ é um retângulo de altura 10 cm e base AC, sendo AC a base do triângulo isósceles extraído do hexágono, abaixo.

$\hat{A}=\hat{C}=30^{\circ}$ , então $\hat{M}=90^{\circ}$
$MC=BC \cdot cos30^{\circ}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
$AC=AM+MC=\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$
$A_{\textup{\textup{sec\c{c}\~ao}}}=10\cdot 5\sqrt{3}\Rightarrow A_{\textup{sec\c{c}\~ao}}=50\sqrt{3}cm^2$