GEOMETRIA ESPACIAL – PIRÂMIDES E CONES

Aprenda sobre Pirâmides e Cones.

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PIRÂMIDES

Pirâmides são os poliedros convexos que possuem uma face convexa, chamada base da pirâmide, um ponto fora do plano da base chamado vértice e as demais faces, chamadas faces laterais, são triângulos formados, cada um deles, por um lado do polígono da base e o vértice da pirâmide.

ELEMENTOS DA PIRÂMIDE

Base – S ou ABCDE

Arestas da Base – $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE}\, \textup{e}\, \overline{EA}$ .

Arestas Laterais – $\overline{AV},\overline{BV},\overline{CV},\overline{DV}\, \textup{e}\, \overline{EV}$ .

Vértice da Pirâmide – $V$

Vértices da Base – $A, B, C, D e E$ .

Altura – h

Seção Transversal – S’

Área da Base (A_B) – é área do polígono da base.

Área Lateral (A_L) – é a soma das áreas de todas as faces laterais (triangulares).

Área Total (A_T) – é a soma da área lateral com a área da base. A_T = A_L + A_B

Volume (V) – é igual a um terço do produto da medida da área da base pela medida da altura da pirâmide.

$V=\frac{A_B\cdot h}{3}$

NATUREZA DE UMA PIRÂMIDE

As pirâmides são denominadas de acordo com o polígono da base.

PIRÂMIDE REGULAR

É aquela em que sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base coincide com o seu centro, isso acontece, pois um polígono regular é o que possui todos os lados e ângulos internos congruentes, portanto sempre pode ser inscrito ou circunscrito numa circunferência cujo centro é considerado também centro do polígono da base.

Podemos ainda afirmar que:

As faces laterais são triângulos isósceles e congruentes, portanto as arestas laterais são congruentes.

A altura de cada face (triângulo isósceles) é chamada de apótema da pirâmide regular (a_p).

A distância do centro do polígono da base ao ponto médio de lado cada um de seus lados é chamada de apótema da base (a_b).

A distância do vértice da pirâmide ao centro do polígono da base é chamada de altura da pirâmide (h).

Exercícios resolvidos

1) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide será:

A) 36.

B) 27.

C) 18.

D) 12.

E) 4.

Solução: opção D.

Sendo a base um quadrado de lado 3 m, sua área será A_B = 3² = 9 Þ A_B = 9 m².

$V=\frac{1}{3}\cdot A_B\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 4\Rightarrow V=12cm^3$

2) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5 cm e a altura mede 4 cm. O volume, em cm³, é:

Solução: 24 cm³.

Considerando o triângulo retângulo AOE pitagórico de hipotenusa $\overline{AE}=5 cm$ e cateto $\overline{AO}=h=4cm$ , concluímos que $\overline{OE}=x=3cm$ .

Verificamos que $\overline{OE}$ é a metade da diagonal do quadrado BCDE, então a diagonal é 6 cm, assim o lado do quadrado é:

$D=I\sqrt2\Rightarrow 6=I\sqrt 2\Rightarrow I=\frac{6}{\sqrt{2}}\Rightarrow I=3\sqrt{2}$

Portanto a área da base é: $A_B=I^2=\left ( 3\sqrt 2 \right )^2=9\cdot 2=18cm^2$
$V=\frac{1}{3}\cdot A_B \cdot H=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 4\Rightarrow V=24cm^3$

Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m³, então, o volume do cubo, em m³, é igual a:

A) 9

B) 12

C) 15

D) 18

E) 21

Solução: opção D.

$V_P=\frac{1}{3}\cdot A_B\cdot H\Rightarrow V_P=\frac{1}{3}\cdot V_C\Rightarrow 3V_P=V_C\Rightarrow V_C=3\cdot 6\Rightarrow V=18cm^3$

4) Observe a figura.

Essa figura representa um prisma reto de base triangular. O plano que contém os vértices B, D e F divide esse prisma em dois sólidos: DACFB, de volume V₁, e DEFB, de volume V₂.

Assim sendo, a razão V₁/V₂ é:

A) 1

B) 3/2

C) 2

D) 5/2

Solução: opção C.

Considerando as dimensões do prisma $\overline{EF}=x,\, \overline{AC}=\overline{DF}=y\, \textup{e}\, \overline{AD}=\overline{CF}=\overline{BE}=z$

Observe que o sólido DACFB é uma pirâmide de base quadrangular, seu volume:

$V_1=\frac{1}{3}\cdot A_B\cdot H=\frac{1}{3}\cdot (y\cdot z)\cdot x\Rightarrow V_1=\frac{yzx}{3}$

Observe, também, que o sólido DEFB é uma pirâmide de base triangular, seu volume:

$V_2=\frac{1}{3}\cdot A_B\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{x\cdot y}{2} \right )\cdot z\Rightarrow V_2=\frac{xyz}{6}$

Portanto a razão V₁/V₂ é:

$r=\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{yzx}{3}}{\frac{xyz}{6}}=\frac{yzx}{3}\cdot \frac{6}{xyz}=2$

REGULAR

Um tetraedro é uma pirâmide de base triangular. Ele é chamado de tetraedro regular quando todas as suas faces são triângulos equiláteros.

Área total do tetraedro regular (A)

Como suas faces são triângulos equiláteros de lado a, a área de cada uma das faces é $A_f=\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}$ , então a área do tetraedro é:

$A=4\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\Rightarrow A=a^2\sqrt{3}$

Altura do tetraedro (H)

Considerando o triângulo equilátero $BCD$ e $\overline{DM}$ como sua altura, temos:

$\overline{DM}=\overline{AM}=h=\frac{a\sqrt3}{2}$ .

Lembrando que o ponto O é o projeção ortogonal do ponto A e também baricentro do triângulo equilátero $BCD$ , por isso divide $\overline{DM}$ da seguinte forma $\overline{DO}=\frac{2}{3}\overline{DM}$ e $\overline{OM}=\frac{1}{3}\overline{DM}$ , sendo $\overline{DM}=\overline{DO}+\overline{OM}$ .

Como $\overline{DM}=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ então $\overline{DO}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \overline{DO}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Assim a altura $H$ será calculada aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo $AOD$ , sendo sua hipotenusa $\overline{AD}=a$ , seus catetos $\overline{AO}=H$ e $\overline{DO}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ , temos: $(AD)^2=(AO)^2+(DO)^2\Rightarrow a^2=H^2+\left ( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2$
$H=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Volume do tetraedro (V)

O volume de uma pirâmide é $V=\frac{A_B\cdot H}{3}$ , sendo a base um triângulo equilátero sua área é $A_B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ e sua altura encontrada anteriormente é $H=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ . Portanto o volume do tetraedro será:

$V=\frac{1}{3}\cdot A_B\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow V=\frac{a^3\sqrt {2}}{12}$

Exercícios resolvidos

5) Um tetraedro regular tem arestas medindo $\sqrt{6}$ cm. Então a medida de suas alturas é igual a:

A) 1/2 cm

B) 1 cm

C) 3/2 cm

D) 2 cm

E) 5/2 cm

Solução: opção D.

$H=\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{3}=\frac{6}{3}=2$

6) Um tetraedro regular, cujas as arestas medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A, B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente, nos pontos R, S e T.

A) Calcule a altura do tetraedro ABCD.

B) Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro regular.

C) Se o plano que contém os pontos R, S e T dista 2 centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento das arestas do tetraedro ARST.

Solução:

A) $H=\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{9\cdot \sqrt{6}}{3}=3\sqrt{6}cm$

B) Observe a figura a seguir:

Os planos das faces BCD e RST são paralelos e os segmentos RS e BC são coplanares, então o segmento RS // BC; da mesma forma o segmento ST // CD e RT // BD. Assim, $\Delta$ ARS ~ $\Delta$ ABC, $\Delta$ AST ~ $\Delta$ ACD e $\Delta$ ART ~ $\Delta$ ABD.

C) h = altura do tetraedro ARST = $3\sqrt{6}-2$
$\begin{matrix} h=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow 3\sqrt{6}-2=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow 9\sqrt{6}-6=a\sqrt{6}\Rightarrow \frac{9\sqrt{6}-6}{\sqrt{6}}=a\Rightarrow a=\left ( 9-\sqrt{6} \right )cm & \\ & \end{matrix}$

7) São dados dois planos paralelos distantes de 5 cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 30 cm² e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é:

A) 10 cm³

B) 20 cm³

C) 30 cm³

D) 40 cm³

E) 50 cm³

Solução: opção E.

A distância entre os planos indica a altura do tetraedro, logo H = 5 cm, como a área da base é 30 cm² e não precisamos saber se o tetraedro é regular, pois basta aplicar na formula:

$V=\frac{1}{3}\cdot A_B\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 30\cdot 5\Rightarrow V=50cm^3$

CONES

É o sólido convexo que:

I – Possui um círculo chamado base.

II – A superfície lateral é formada por segmentos (geratrizes) que partem do círculo (circunferência) até um ponto fora dele chamado vértice do cone.

ELEMENTOS DO CONE

Base – S

Raio – r

Vértice – V

Geratriz – g

Eixo – OV

Altura – h

Seção transversal – S’

Seção reta – S”

Seção meridiana – AVB

Área Lateral – é a área da superfície lateral.

Área Total – é a soma da área lateral com a área da base.

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