EQUAÇÃO DA RETA

Denominamos equação de uma reta no R² a toda equação nas incógnitas x e y que é satisfeita pelos pontos P(x,y) que pertencem à reta e só por eles.

Equação geral da reta.

Dada uma reta r do plano cartesiano, vamos supor que r passe pelos pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), A ≠B, e vamos considerar um ponto genérico P(x, y).

O ponto P pertence a reta se e só se, A, B e P são colineares, isto é:

Desenvolvendo o determinante temos que:

(y₂ – y₁)x + (x₁ – x₂)y + (x₂y₁ – x₁y₂) = 0

Fazendo y₂ – y₁ = a, x₁ – x₂ = b   e   x₂y₁ – x₁y₂ = c fica

ax + by + c = 0

Exercícios resolvidos

1) Obtenha a equação da reta AB quando A(1,2) e B(7,6).

Solução:

A equação geral da reta é dada por (y₂ – y₁)x + (x₁ – x₂)y + (x₂y₁ – x₁y₂) = 0

Substituindo os pontos temos que (2 – 6)x + (1 – 7)y + (7 . 2 – 1 . 6) = 0

–4x – 6y +(14 – 6) = 0

4x +6y – 8 = 0

2) Obter um ponto A na reta x – y = 0 e equidistante dos pontos B(1,0) e C(5,2).

Solução:

Como A pertence a reta x-y=0 concluímos que x=y, então temos que as coordenadas do ponto A são iguais.

Determinaremos x impondo a condição d_AB = d_AC.

1 – 2x + x² + x² = 25 – 10 x + x² + 4 – 4x + x²

12x = 28   

X = 7/3

Logo, A (7/3,7/3).

POSIÇÕES RELATIVAS E INTERSEÇÕES DE RETAS

Dadas duas retas r e s no plano elas podem ocupar apenas três posições relativas no plano cartesiano. Essas posições são definidas com base no numero de pontos comum as retas, isto é:

r e s concorrentes têm apenas um ponto em comum.

r e s paralelas e distintas, não possuem pontos em comum.

r e s coincidentes, infinitos pontos em comum.

Observe os gráficos abaixo:

A) retas concorrentes

B) retas paralelas e distintas

C) retas coincidentes

Considere as retas abaixo:

r: a₁x + b₁y + c₁ = 0   e   s: a₂x + b₂y + c₂ = 0

INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS

Todo ponto de interseção de duas retas tem de satisfazer às equações de ambas as retas, portanto, obtemos o ponto comum P(x₀,y₀) a duas retas concorrentes resolvendo o sistema formado pelas suas equações.

Exercícios resolvidos.

1) Para que valores de k o sistema abaixo admite solução única?

Solução:

Para que o sistema admita solução única as retas devem ser concorrentes, então devemos ter

2) Determine uma relação entre a e b para que as retas 2x + ay = 7 e 4x + by = 6 sejam paralelas.

Solução:

Para as retas serem paralelas é preciso que atendam a seguinte relação:

Dessa forma temos que b = 2a.

3) Determine os valore de a e b no sistema abaixo para que admita infinitas soluções.

Solução:

Para que o sistema admita infinitas soluções as retas devem ser coincidentes.

Duas retas são concorrentes se e só se atendem as condições abaixo:

PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE

Já vimos no módulo anterior a condição de paralelismo entre duas retas, vamos observar agora um caso particular de duas retas concorrentes, as retas perpendiculares.

Considere duas retas, r: a₁x + b₁y + c₁ = 0 e s: a₂x + b₂y + c₂ = 0

CONDIÇÃO DE PARALELISMO

OBTENÇÃO DE UMA RETA PERPENDICULAR A UMA RETA DADA

Dada uma reta ax + by + c = 0, uma das retas perpendiculares a esta será da forma ay – bx + k = 0.

Exercícios resolvidos.

1) Determine a equação de uma reta paralela a reta 2x + 3y + 3 = 0 que passa pelo ponto (2, 4)

Solução:

Uma equação de reta paralela a 2x + 3y + 3 = 0 será da forma 2x + 3y + k = 0, como a reta passa pelo ponto (2,4) basta substituirmos esse ponto para descobrir o valor de k.

2 . (2) + 3 . (4) + k = 0

4 + 12 + k = 0

K = – 16

Logo a equação da reta é 2x + 3y – 16 = 0

2) Se uma reta r tem equação 3x- 5y +2 = 0, determine a equação de uma reta s perpendicular a r que passa pelo ponto (2,-1).

Solução:

Sabemos que uma reta perpendicular a r deve ter a equação da forma 3y + 5x + k = 0, como ela passa pelo ponto (2,-1) basta substituirmos as coordenadas do ponto para obtermos o valor de k.

Logo, a equação da reta s é 5x + 3y – 7 = 0.

A EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA

Considere uma reta não vertical com coeficiente angular m e P (x₀,y₀) um ponto conhecido desta reta.

Sendo Q(x,y) um ponto genérico desta reta temos que: , então podemos escrever: .

EQUAÇÃO GERAL DE UMA RETA

Consideremos dois pontos distintos e conhecidos A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂) de uma reta r e P(x,y) um ponto genérico desta reta.

Sabemos que eles estão alinhados podemos escrever:

Resolvendo o determinante temos

y₁x + y₂y + x₁y₁ – x₂y₁ – y₂x – x₁y = 0

essa é uma equação do tipo ax + by + c = 0

onde a e b não podem ser nulos simultaneamente.

EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA RETA

A partir da equação geral ax + by + c = 0 podemos isolar a variável y e escrever a equação reduzida da reta.

Essa é uma equação da forma y = mx + q.

EQUAÇÃO SEGMENTARIA DE UMA RETA

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMA RETA

As equações paramétricas de uma reta são duas equações que estabelecem uma relação entre as variáveis principais, x e y, e outra variável real e secundaria t chamada parâmetro.

Por exemplo:

Exercícios resolvidos.

1) Determine a equação segmentária de uma reta que corta o eixo x no ponto 3 e o eixo y no ponto 8.

Solução:

A equação segmentaria depende apenas dos pontos de interseção com os eixos ordenados dessa forma devemos escrever que a reta é dada por:

2) Determine a equação geral da reta de equações paramétricas x = 2 + 3t e y = 5 – 4t.

Solução:

A forma mais simples é isolar t nas duas equações e depois igualá-los, veja:

Isolando o t das duas equações, vem:

3) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(3,2) e tem direção normal ao veto n = (5, –4).

Solução:

Se a reta tem direção normal ao vetor (5,-4) então ela admite uma equação geral da forma 5x – 4y + c = 0, onde o ponto c será determinado pelo ponto P que pertence a reta.

5(3) – 4(2) + c = 0

15 – 8 + c = 0

C = -7

Logo, a equação geral da reta será:

5x – 4y – 7 = 0.