GEOMETRIA ANALÍTICA 2
Aprenda sobre Circunferência no Plano e veja os Exercícios Resolvidos.
CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO
Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma circunferência com centro no ponto (a,b) de um plano e tendo raio r, é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) deste plano que estão localizados à mesma distância r do centro (a,b).
A equação desta circunferência é dada por:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Disco circular é a região que contém a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência.
A equação da circunferência com centro na origem (0,0) e raio r, recebe o nome de forma canônica da circunferência e é dada por: x2 + y2 = r2
Equação geral da circunferência: Dada a equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, podemos desenvolver a mesma para obter a forma geral da circunferência x2 + y2 + A x + B y + C = 0, veja:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Tomando -2ax = A, -2by = B e a2 + b2 – r2 = C, temos x2 + y2 + A x + B y + C = 0.
Equação da circunferência com centro em um ponto e passando em outro: Dado o centro O(a,b) da circunferência e um outro ponto Q(xo,yo) que pertence à circunferência, pode-se obter o raio da mesma através da distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da circunferência para se obter a sua equação.
Equação da circunferência que passa por 3 pontos:
Quando conhecemos três pontos da circunferência, podemos utilizar a equação geral da circunferência para obter os coeficientes A, B e C através de um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas.
Exercícios resolvidos
1) Determine a equação reduzida da circunferência com centro em (2,3) e raio igual a 8 .
Solução:
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 82
2) Determine a equação geral da circunferência com centro em (2,3) e raio r = 8 é:
Solução:
x2 + y2 – 4x – 6y – 51 = 0
3) Determine a equação da circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) .
Solução:
Primeiro vamos calcular o raio desta circunferência.
r2 = (8 – 3)2 + (16 – 5)2 = 25 + 121 = 146
logo, a sua equação é dada por (x – 3)2 + (y – 5)2 = 146
4) Seja uma circunferência que passa pelos pontos (2,1), (1,4) e (-3,2). Determine a equação dessa circunferência:
Solução:
Dessa forma, utilizando a equação geral da circunferência: x2 + y2 + A x + B y + C = 0 substituiremos estes pares ordenados para obter o sistema:
(-2)2 + (1)2 + A(-2) + B(1) + C = 0
( 1)2 + (4)2 + A( 1) + B(4) + C = 0
(-3)2 + (2)2 + A(-3) + B(2) + C = 0
Que pode ser simplificado na forma:
-2 A + 1 B + 1 C = -5
1 A + 4 B + 1 C = 5
-3 A + 2 B + 1 C = 13
E resolvendo o sistema encontramos:
Assim a equação geral desta circunferência é:
CADASTRE-SE
E receba em primeira-mão todas as novidades dos Vestibulares, Ofertas, Promoções e mais!
