EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Seja a equação:

ax² + bx + c = 0, com a0.

Dividindo todos os coeficientes por a, temos:

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de  a ambos os membros da equação para obter:

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

ou

Que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

Contendo um sinal que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

ou

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

Onde  (às vezes usamos a letra maiúscula “delta” do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

EQUAÇÃO COMPLETA DO SEGUNDO GRAU

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

a) 2 x² + 7x + 5 = 0

b) 3 x² + x + 2 = 0

EQUAÇÃO INCOMPLETA DO SEGUNDO GRAU

Uma equação do segundo grau é incompleta se b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Na equação incompleta pelo menos o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1) 4x² + 6x = 0

2) 3x² + 9 = 0

3) 2x² = 0

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU

Equações do tipo ax²=0:

Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0,significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

EQUAÇÕES DO TIPO :

Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

Se  for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se  for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

Equações do tipo ax²+bx = 0:

Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0, a equação terá duas raízes:

Exemplos gerais

1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.

2. 4x²-8=0 tem duas raízes:

3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.

4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x’=3, x”=0

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

Onde,  é o discriminante da equação.

Para esse discriminante  há três possíveis situações:

1. Se , não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

2. Se , há duas soluções iguais:

3. Se , há duas soluções reais e diferentes:

2. PROPRIEDADES GRÁFICAS

O gráfico da sentença  é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical.

INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO OX:

As abcissas dos pontos de interseção da parábola com o eixo Ox são as raízes da equação do 2º grau.

Sendo  o discriminante da equação, tem-se:

INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO OY:

VÉRTICE DA PARÁBOLA:

É a interseção da curva com o seu eixo de simetria. As coordenadas do vértice são:

CONCAVIDADE DA PARÁBOLA:

3. INEQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Para resolver inequações dos tipos ,,  ou , em que a, b e c são coeficientes reais, estuda-se a variação de sinal do trinômio  com o auxílio de seu gráfico simplificado (não se registra a posição do eixo Oy).

Nos exemplos abaixo, .