EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU COM UMA VARIÁVEL

Ao longo deste módulo aprenderemos a resolver equações do 2º grau com uma variável. Essas equações poderão ser escritas, sempre, da forma ax2+bx+c=0, em que x é a variável e a, b e c são números reais, com a≠0.

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Os números reais a, b e c são chamados de coeficientes da equação do 2º grau.

Lembre-se que:

a- representa o coeficiente do termo x².

b- representa o coeficiente do termo x.

c -representa o termo independente de x.

Observe abaixo alguns exemplos de equações do 2º grau e, em destaque, os seus coeficientes:

2x² – 5x + 3 = 0

a = 2 | b = -5 | c = 3

x² – 4x + 8 = 0

a = 1 | b = -4 | c = 8

x² + 3x + 1 = 0

a = 1 | b = 3 | c = 1

3x² + 17x = 0

a = 3 | b = 17 | c = 0

-4x² + 13 = 0

a = -4 | b = 0 | c = 13

2 x 2 = 0

a = 2 | b = 0 | c = 0

Uma equação do 2º grau pode ser classificada em completa ou incompleta. Essa classificação depende dos valores dos seus coeficientes. Dessa forma, dizemos que uma equação do 2º grau é completa quando os coeficientes b e c forem diferentes de zero.

Veja alguns exemplos abaixo:

· 5x² + 2x + 1 = 0 → completa.

· x² – 3x + 12 = 0 → completa.

· x² + 4x = 0 → incompleta pois c = 0.

· -3x² + 14 = 0 → incompleta pois b = 0.

· 7x² = 0 → incompleta pois b = 0 e c = 0.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Raízes de uma equação do 2º grau

Quando a variável de uma equação é substituída por um número qualquer e a sentença obtida for verdadeira, dizemos que esse número é uma raiz da equação. Quando estudamos uma equação do 2º grau observamos que podemos encontrar até duas raízes diferentes.

Observe alguns exemplos:

Verifique se o número 1 é raiz da equação x² – 3x + 2 = 0.

Cálculos:

Substituindo x por 1, temos:

x² – 3x + 2 = 0

12 – 3.1 + 2 = 0

1-3 + 2 = 0

0 = 0 → sentença verdadeira

Portanto, dizemos que o número 1 é uma raiz dessa equação.

Verifique agora, se o número 3 é raiz dessa mesma equação.

Cálculos:

Substituindo x por 3, temos:

x² – 3x + 2 = 0

3² – 3.3 + 2 = 0

9 – 9 + 2 = 0

2 = 0 → sentença falsa

Dessa forma, dizemos que o número 3 não é uma raiz dessa equação.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS

Resolver uma equação é equivalente a determinar o seu conjunto verdade num universo escolhido. Observe alguns exemplos de equações do 2º grau incompletas considerando como universo o conjunto dos números reais.

1º caso: Equação do 2º grau da forma ax² + bx = 0.

Encontre as raízes da equação do 2º grau x² – 4x = 0.

Observe que colocando o x em evidência, temos x(x – 4) = 0.

O produto de dois número reais é nulo somente se um dos fatores for nulo. Dessa forma temos que:

x = 0 → primeiro fator ou (x – 4) = 0→ segundo fator

Se (x – 4) = 0 então x = 4.

Existem dois valores de x que são raízes da equação. Podemos indicar as duas raízes das equação por x₁ e x₂, temos então que x₁ = 0 e x₂ = 4.

Logo, o conjunto verdade da equação é V = {0, 4}.

Uma observação importante: Toda equação incompleta do tipo ax² + bx = 0 apresenta uma raiz nula.

2º caso: Equação do 2º grau da forma ax² + c = 0.

Encontre as raízes da equação do 2º grau x² – 9 = 0.

x² – 9 = 0

x² = 9

Existem dois valores de x que verificam a igualdade. São eles 3 e – 3, note que 3² = 9 e (-3)² = 9. Por conta disso, podemos escrever que x = ± 9 obtendo como resultado
x¹ = -3 e x² = 3.

Em alguns casos não será possível determinar raízes reais pois não está definida a raiz quadrada de números negativos no conjunto R.

Obs: Quando a equação da forma ax² + c = 0 admitir raízes reais, estas serão simétricas.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS

Uma das formas de obtermos as raízes de uma equação do 2º grau é aplicando a fórmula de Bhaskara. A fórmula é obtida através de um processo algébrico simples que deduziremos a seguir.

Consideremos a equação completa do 2º grau: ax² + bx + c = 0

Isolamos o coeficiente c para o 2º membro da equação: ax² + bx = -c

Multiplicamos os dois membros por 4a (lembre-se que a ≠ 0):

4a.(ax² + bx) = 4a.(-c)

4a²x² + 4abx = -4ac

Adicionamos b² aos dois membros:

4a²x² + 4abx + b² = b² – 4ac

Fatoramos o 1º membro (trinômio quadrado perfeito):

(2ax+b)² = b² – 4ac

Se b² – 4ac ≥ 0, podemos extrair a raiz quadrada de ambos os membros:

Isolando x, temos:

→ Fórmula de Bhaskara

A expressão b² – 4ac, é chamada de discriminante da equação e representada pela letra grega delta (∆). Então, ∆ = b² – 4ac.

É muito comum escrevermos a fórmula da seguinte forma:

Observe abaixo dois exemplos de equações do 2º grau resolvidas utilizando a fórmula de Bhaskara.

Resolver a equação x² + 8x + 12 = 0.

Solução:

Temos que a = 1, b = 8 e c = 12.

Calculando o valor de ∆ = b² – 4ac

∆ = 82 – 4.1.12

∆ = 64 – 48

∆ = 1

Calculando o valor de x:

Dessa forma, temos que as raízes da equação são:

Resolver a equação x² + 8x + 16 = 0.

Solução:

Temos que a = 1, b = 8 e c = 16.

Calculando o valor de ∆ = b² – 4ac

∆ = 82 – 4.1.16

∆ = 64 – 64

∆ = 0

Calculando o valor de x:

Note que, e , portanto temos que as raízes da equação são: x₁ = x₂ = -4.

ESTUDO DO DISCRIMINANTE DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

A partir da fórmula de Bhaskara que acabamos de estudar, podemos tirar algumas conclusões importantes acerca do discriminante:

Uma equação do 2º grau admite duas raízes reais e diferentes se, e somente se, ∆ > 0.

Uma equação do 2º grau admite duas raízes reais e iguais se, e somente se, ∆ = 0.

Uma equação do 2º grau não admite raízes reais se, e somente se, ∆ < 0.

RELAÇÕES DE GIRARD (SOMA DE PRODUTO DE RAÍZES)

As relações de Girard são relações entre as raízes de uma equação. Vamos estudar essas relações para uma equação do 2º grau.

Considere a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0. Sejam x₁ e x₂ suas raízes. Estabeleceremos as relações de Girard entre essas raízes e os coeficientes a, b e c da equação.

Sabemos que e