CICLO TRIGONOMÉTRICO

Para ampliarmos o estudo da trigonometria devemos usar uma outra forma de representação que seja capaz de mostrar ângulos sem nenhuma limitação. No caso dos triângulos ficávamos num universo bastante restrito visto que a soma dos ângulos interno de um triangulo é fixada em 180˚.

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Dessa necessidade, buscamos como ferramenta o ciclo trigonométrico que, por definição, tem raio unitário e circunferência orientada. Convencionou-se que na circunferência orientada o ponto A é a origem na marcação de arcos e por conto disso arbitrou-se que o sentido positivo é o sentido anti-horário e o sentido horário será o negativo.

Observe a ilustração abaixo:

Os arcos $\widehat{AB}$ e $\widehat{AC}$ acima representados têm orientação positiva e negativa, respectivamente. Com isso, escrevemos as suas medidas acompanhadas do sinal, nesse caso, $\widehat{AB}=+\, 60^{\circ}$ e $\widehat{AC}=-\, 75^{\circ}$ .

A DIVISÃO EM QUADRANTES

Podemos dividir essa circunferência, a partir da origem, em quatro arcos congruentes, como vemos na figura abaixo:

Os diâmetros $\overline{A_{1}A_{3}}$ e $\overline{A_{2}A_{4}}$ são perpendiculares e dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos congruentes, denominados quadrantes. Numeramos os quadrantes no sentido anti-horário, dessa forma, temos:

O setor $A_{}1OA_{}2$ representa o primeiro quadrante, o setor $A_{}2OA_{}3$ representa o segundo quadrante, o setor $A_{}3OA_{}4$ representa o terceiro quadrante e o setor $A_{}4OA_{}1$ representa o quarto quadrante.

ARCOS CÔNGRUOS

Chamamos de arcos côngruos dois ou mais arcos que possuem a mesma origem e a mesma extremidade, a diferença entre dois arcos côngruos é um número de voltas inteiras dadas no ciclo.

De forma geral, se dois arcos $\alpha$ e $\beta$ são côngruos então $\alpha -\beta=k\cdot 360^{\circ}$ , em que $k\epsilon Z$ (essa conclusão pode ser escrita também em radianos e, dessa forma, $\alpha -\beta =k\cdot 2\pi$ , em que $k\, \epsilon\, Z$ ).

Exemplos:

Verifique se os pares de arcos abaixo são côngruos:

a) 1720˚ e 1000˚

Note que a diferença entre eles (1720˚ – 1000˚) é 720˚, que representa duas voltas completas, portanto, são côngruos.

b) 780˚ e – 200˚

Note que a diferença entre eles (780˚ – (-200˚)) é 1080˚, que representa três voltas completas, portanto são côngruos.

c) 600˚ e 500˚

A diferença entre eles (600˚ – 500˚) é 100˚, que não representa um número inteiro de voltas, portanto não são côngruos.

PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA

Todo arco $\alpha$ tem uma primeira determinação positiva. Esse valor é o menor arco positivo que seja côngruo de $\alpha$ . (Representação incompleta da volta)

Exemplo:

Qual a menor determinação positiva de 900˚?

Observe que o 900˚ está na terceira volta do ciclo. Ele representa duas voltas completas e na terceira volta representa 180˚ (360˚ + 360˚ + 180˚ = 900˚) portanto o 180˚ é a primeira determinação positiva do 900˚.

Obs: Quanto um arco é positivo e menor do que 360˚ ele já é a sua primeira determinação positiva.

EXPRESSÃO GERAL DE ARCOS CÔNGRUOS

No ciclo, cada ponto representa uma variedade infinita de arcos côngruos. Já sabemos que a partir da primeira determinação positiva podemos encontrar o próximo arco côngruo a este somando 360˚, dessa forma conseguimos escrever uma expressão geral para uma família de arcos côngruos.

O ponto E tem como primeira representação positiva o arco de 120˚ mas podemos escrever sua família adicionando voltas.

Observe:

$120^{\circ}$
$120^{\circ}+360^{\circ}=480^{\circ}$
$120^{\circ}+360^{\circ}+360^{\circ}=840^{\circ}$
$120^{\circ}+360^{\circ}+360^{\circ}+360^{\circ}=1200^{\circ}$

$120^{\circ}+360^{\circ}+360^{\circ}+...+360^{\circ}=120^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}$ em que $k\, \epsilon \, Z$ .

Nessa expressão temos a representação de todos os arcos côngruos de 120˚ e também a quantidade de voltas de cada arco, denotado por k.

AS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO

O valor do seno de um arco é obtido através da projeção da extremidade do arco sobre o eixo vertical. Essa projeção é um ponto que faz parte de um eixo ordenado positivamente para cima e negativamente para baixo em que devemos observar a distância até a origem.

$sen\alpha =\overline{OF}$

O valor do cosseno de um arco é obtido através da projeção da extremidade do arco sobre o eixo horizontal. Essa projeção é um ponto que faz parte de um eixo ordenado positivamente para direita e negativamente para esquerda em que devemos observar a distância até a origem.

$cos\alpha =\overline{OG}$

O valor tangente de um arco é obtido através do prolongamento do raio até o eixo paralelo ao eixo dos senos posicionado tangenciando à direita o ciclo. Esse prolongamento encontra o eixo num ponto que faz parte de um eixo ordenado positivamente para cima e negativamente para baixo em que devemos observar a distância até a origem do ciclo.

OBSERVAÇÃO

Como o raio da circunferência trigonométrica mede uma unidade os valores de seno e cossenos ficam compreendidos entre – 1 e 1.

SINAIS DOS QUADRANTES

SENO

O seno será positivo no 1º e no 2º quadrantes, e negativo no 3º e no 4º.

COSSENO

O cosseno será positivo no 1º e no 4º quadrantes, negativo no 2º e no 3º.

TANGENTE

A tangente será positiva nos quadrantes ímpares e negativa nos pares.

REDUÇÃO DE QUADRANTES

É possível conhecendo os arcos do primeiro quadrante determinarmos os valores das linhas trigonométricas de qualquer outro quadrante. Para isso, é necessário conhecer o processo de redução de quadrantes que mostraremos a seguir.

REDUÇÃO DO 2º PARA O 1º QUADRANTE

Lembre-se que no segundo quadrante os arcos medem entre 90˚ e 180˚.

Seja $\alpha$ um arco qualquer do 2º quadrante.

Utilizando o prolongamento do segmento $\overline{EF}$ obtemos o ponto H e construindo um segmento paralelo a $\overline{EG}$ obtemos o segmento $\overline{HI}$ .

Unindo o ponto H ao ponto O obtemos o triângulo OHI, que é congruente ao triângulo OEG.

Com isso, podemos concluir que:

Os ângulos $\alpha$ e $\beta$ são suplementares, isto é, $\alpha +\beta =180^{\circ}$ .

Note que $\overline{EG}=\overline{HI}$ e $\overline{EF}=\overline{FH}$ , assim, podemos afirmar que $sen\alpha =sen\beta$ e $cos\alpha =cos\beta$ . De maneira geral, para todo $90^{\circ}< \alpha < 180^{\circ}$ temos que $sen\alpha =sen\left ( 180^{\circ}-\alpha \right )$ e $cos\alpha =-\, cos\left ( 180^{\circ} -\alpha \right )$ .

Exemplo:

Determine o $sen150^{\circ}$ e o $cos120^{\circ}$ .

Solução:

Como ambos são ângulos do 2º quadrante vamos utilizar as relações vistas acima.

$sen150^{\circ}=sen\left ( 180^{\circ}-150^{\circ} \right )=\, sen30^{\circ}=\frac{1}{2}$
$cos120^{\circ}=-\, cos(180^{\circ}-120^{\circ})=-\, cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}$

REDUÇÃO DO 3º PARA O 1º QUADRANTE

Lembre-se que no terceiro quadrante os arcos medem entre 180˚ e 270˚.

Seja $\alpha$ um arco qualquer do 3º quadrante.

Construindo o prolongamento do segmento $\overline{EO}$ encontramos o ponto H, e traçando suas projeções ortogonais nos eixos cartesianos obtemos os pontos I e J, conforme figura abaixo:

O ângulo $\beta$ é o excesso do ângulo $\alpha$ em relação a 180˚, dessa forma, temos que $\alpha -180^{\circ}=\beta$ . Observe que os ângulos $G\hat{O}E$ e $H\hat{O}I$ são $O.P.V.$ e por isso podemos concluir que os triângulos $GOE$ e $HOI$ são congruentes. Note que $\overline{GE}=\overline{HI}$ e $\overline{OF}=\overline{OJ}$ , portanto, podemos afirmar que para todo ângulo do 3º quadrante $sen\alpha =-sen(\alpha -180^{\circ})$ , assim como, $cos\alpha =-cos\left ( a-180^{\circ} \right )$ .

REDUÇÃO DO 4º PARA O 1º QUADRANTE

Lembre-se que no quarto quadrante os arcos medem entre 270˚ e 360˚.

Seja $\alpha$ um arco qualquer do 4º quadrante.

Utilizando o prolongamento do segmento $\overline{EG}$ obtemos o ponto H e construindo um segmento paralelo a $\overline{EF}$ obtemos o segmento $\overline{HI}$ .

Unindo o ponto H ao ponto O obtemos o triângulo OHG, que é congruente ao triângulo OEG.

Com isso, podemos concluir que:

Os ângulos $\alpha$ e $\beta$ são replementares, isto é, $\alpha +\beta =360^{\circ}$ .

Note que $\overline{EG}$ e $\overline{HG}$ , assim, podemos afirmar que $sen\alpha =-sen\beta$ e $cos\alpha =cos\beta$ . De maneira geral, para todo $270^{\circ}< \alpha < 360^{\circ}$ temos que $sen\alpha =-sen\left ( 360^{\circ} \right-\alpha )$ e $cos\alpha =cos\left ( 360^{\circ} \right-\alpha )$ .