ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS

Aprenda sobre as Áreas de Polígonos, Áreas Especiais do Triângulo, Área do Círculo e Suas Partes, Área do Setor Circular, Área do Segmento Circular e Área da Coroa Circular.

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ÁREAS DE POLÍGONOS

RETÂNGULO

$A=base\cdot altura =b\cdot h$

QUADRADO

$A=L\, \textup{x}\, L=L^2$

PARALELOGRAMO

$A=a\cdot h$

Observação:

Muito cuidado para não confundir altura com um dos lados. As vezes será necessário fazer uso da trigonometria para o cálculo da altura.

TRIÂNGULO

$\textup{\'Area}=b\cdot h\cdot \frac{1}{2}$

ÁREAS ESPECIAIS DO TRIÂNGULO

Em função dos Lados:

$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , onde p é o semi-perímetro: $p=\frac{a+b+c}{2}$

Em função dos lados e do raio R da circunferência inscrita:

A = pr, onde p é o semi-perímetro.

Em função dos lados e do seno do ângulo compreendido: $A=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot sen \alpha$

Em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita: $A=\frac{a\cdot b \cdot c}{4R}$

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

$A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

TRAPÉZIO

$A=\frac{(b_{\textup{max}}+b_{\textup{min}})}{2}\cdot h$

LOSANGO

$A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$

POLÍGONO REGULAR

Separando o polígono regular de n lados em triângulos, teremos n triângulo e cada um terá área igual a $\frac{s\cdot a }{2}$ , onde s é o lado do polígono e a é o apótema.

Portanto a área total é dada por:

$A=n\cdot \frac{s\cdot a}{2}=p.a$

Exemplos:

1) Determine o lado de um quadrado, sabendo que, se aumentarmos seu lado em $2\, \textup{cm}$ sua área aumenta em $36\, \textup{cm}^2$

Solução:

Considere um quadrado de lado $x$ , sua área será $x^2$

Aumentando seu lado em $2$ sua área será: $(x+2)^2$ e será também $x^2+36$ .

Logo, $(x+2)^2=x^2+36$
$x^2+4x+4=x^2+36$
$4x=32$
$x=8$

2) Determine a área de um losango, sendo 120 cm o seu perímetro e 36cm a medida de sua diagonal menor.

Solução:

O losango é um polígono equilátero, dessa forma, cada lado mede 30 cm.

Então, a área do losango é formada por dois triângulos de lados, 30, 30 e 36.

Área do triangulo = 432

Área do Losango = 864

ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES

Para compreendermos a fórmula utilizada no cálculo da área de um círculo temos que imaginar uma circunferência:

E dentro dela circunscrito um polígono regular:

Os seguimentos de reta que partem do centro da circunferência e que vão até o vértice do polígono regular são os raios do círculo. Assim, formando n triângulos no polígono regular, com base no cálculo da área de um hexágono regular, podemos dizer que a área de um polígono regular de n lados seria:

$A=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$

Sendo n . a o valor do perímetro do polígono regular

$A=\frac{(\textup{per\'imetro do pol\'igono regular})\cdot h}{2}$

Agora imagine se aumentarmos o número de lados do polígono regular, a tendência é do seu perímetro ficar cada vez mais parecido com o comprimento da circunferência, e a altura de cada triângulo formado no polígono regular ficar igual ao raio do círculo. Assim, podemos concluir que a fórmula do cálculo da área de um círculo poderá ser indicada da mesma forma que a área de um polígono regular de n lados, veja a relação abaixo:

$A=\frac{\textup{(comprimento da circunfer\^encia) }\cdot \textup{raio}}{2}$
$A=2\pi r \cdot \frac{r}{2}$
$A=\pi r^2$

ÁREA DO SETOR CIRCULAR

Um círculo pode ser repartido em setores, segmentos e coroas. Como essas divisões são partes da superfície de um círculo, então as suas áreas são menores que π r2 (área de um círculo), sendo assim calculadas com o uso de outras fórmulas.

Veja como calcular a área de um setor circular.

Setor circular é uma parte do círculo limitada por dois segmentos de retas (raios) que partem do centro até a circunferência, formando assim um ângulo central limitado pelos raios.

Dado o círculo de centro o, raio r e ângulo central α: . O cálculo da área do setor circular pode ser calculado levando em consideração que um círculo completo possui 360° e sua área total é calculada pela fórmula πr², assim fazemos a seguinte regra de três para obter a fórmula da área do setor circular:

$360^{\circ}-\pi r^2$
$\alpha-A_{(\textup{setor})}$
$\alpha\cdot \pi r^2=360\cdot A_{(\textup{setor})}$
$A_{(\textup{setor})}=\alpha \cdot \frac{\pi r^2}{360}$

Observação:

Caso o ângulo do setor circular seja dado em radianos será preciso que o ângulo de 360º esteja em radianos também.

Veja como transformamos um ângulo em radianos.

Para essa transformação é preciso saber apenas que 180° equivale a π, depois basta aplicar a regra de três, assim temos que 360° equivale a 2 π.

$180^{\circ}-\pi$
$360^{\circ}-\textup{x}\, rad$
$\textup{x}=\frac{360\pi}{180}$
$\textup{x}=2\pi$

Exemplo:

Em um círculo, a região limitada pelos lados de um ângulo central é chamada de setor circular. Calcule a área do setor circular a seguir:

Utilizando a fórmula $A_{(\textup{setor})}=\frac{\alpha \cdot \pi r^2}{360}$ , teremos:

$A_{(\textup{setor})}=\frac{80\cdot \pi \cdot 6^2}{360}$
$A_{(\textup{setor})}=\frac{80\cdot \pi \cdot 36}{360}$
$A_{(\textup{setor})}=\frac{2880\pi }{360}$
$A_{\textup{setor}}=8\pi$

Caso o ângulo 80° estivesse em radianos (4π/9) teríamos que fazer os cálculos da seguinte forma:

$A_{\textup{setor}}=\frac{\frac{4\pi}{9\cdot \pi \cdot 6^2}}{2\pi}$
$A_{\textup{setor}}=\frac{\frac{4\pi^2}{9 \cdot 36}}{2\pi}$
$A_{\textup{setor}}=\frac{\frac{144\pi ^2}{9}}{2\pi}$
$A_{\textup{setor}}=\frac{16\pi ^2}{2\pi}$
$A_{\textup{setor}}=8\pi$

ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR

Em geometria, um segmento circular (também segmento de círculo) é uma área de um círculo informalmente definido como uma área que é “cortada” do resto do círculo por uma reta secante ou uma corda. O segmento circular constitui a parte entre a secante e um arco, excluindo o centro do círculo.

Um segmento circular (mostrado aqui em amarelo) é delimitada por uma secante/corda (a linha tracejada) e um arco de círculo (mostrado acima da área amarela).

Seja R o raio do círculo, c o comprimento da corda, s o comprimento do arco, h a altura do segmento e d a altura da porção triangular. A área do segmento circular é igual à área do setor circular menos a área da porção triangular.

O raio é $R=h+d$

O comprimento do arco é $S=R\cdot \theta$ , onde q está em radianos.

A área é $A=\frac{R^2}{2}\cdot (\theta -sen \theta )$ .

ÁREA DA COROA CIRCULAR

Na geometria, coroa circular é uma região limitada por dois círculos concêntricos. Se denotarmos por R o raio da circunferência externa e por r o raio da circunferência interna. A aréa da coroa é dada pela diferência entre a área do círculo externo e a área do círculo interno:

$A=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2)$