ARRANJOS SIMPLES

Arranjos simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos que compõem o grupo.

Exemplo:

Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 1, 2, 3 e 4?

Observe que os números formados (ou grupos) diferem entre si:

· Pela ordem dos elementos.

Exemplo: 23 é diferente de 32.

· Pelos componentes.

Exemplo: 24 é diferente de 13.

Esses grupos são chamados de arranjos simples de quatro elementos tomados (escolhidos) dois a dois, e indicamos essa operação por A_{4, 2}.

Definimos então, que:

Arranjos simples dos n elementos de um conjunto E, tomados p a p (p ≤ n), são todos os agrupamentos sem repetição formados com p elementos distintos do conjunto E.

Notação:

Podemos indicar esse arranjo por  ou .

A fórmula dos arranjos

Quantas sequências de duas letras distintas podemos formar com as letras A, E, I e O?

Observe um problema semelhante mas que variamos as possibilidades de letras e também a quantidade escolhida:

Com 4 letras:

Formando sequências de 2 letras: 4 x 3

Formando sequências de 3 letras: 4 x 3 x 2

Com 5 letras:

Formando sequências de 2 letras: 5 x 4

Formando sequências de 3 letras: 5 x 4 x 3

Formando sequências de 4 letras: 5 x 4 x 3 x 2

Com 6 letras:

Formando sequências de 2 letras: 6 x 5

Formando sequências de 3 letras: 6 x 5 x 4

Formando sequências de 4 letras: 6 x 5 x 4 x 3

Formando sequências de 5 letras: 6 x 5 x 4 x 3 x 2

Com n letras, teríamos:

Formando sequências de 2 letras: n x (n – 1)

Formando sequências de 3 letras: n x (n – 1) x (n – 2)

Formando sequências de 4 letras: n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3)

Formando sequências de 5 letras: n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3) x (n – 2)

…

Formando sequências de p letras: n x (n – 1) x (n – 2) x … x (n – p + 1)

Generalizando:

O número de arranjos simples de n elementos em grupos de p elementos é dado por:

Em que lemos: Arranjos simples de n elementos tomados p a p.

Desenvolvendo A_{n, p} obtemos p fatores (como se usássemos o principio fundamental da contagem).

EXEMPLO

Numa sala com 20 alunos deseja-se formar um grupo ordenado de quatro alunos. De quantas formas podemos escolher esses quatro alunos?

Solução:

Como a ordem dos alunos é relevante devemos fazer um arranjo. (A_{20, 4})

Outra forma de se pensar utilizando fatoriais é escrever que

Generalizando, podemos escrever que

COMBINAÇÕES SIMPLES

Combinação simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo difere de outro apenas pela natureza dos elementos escolhidos.

Exemplo:

Um grupo de seis amigos participa de um sorteio mas apenas dois serão sorteados e receberão prêmios idênticos. De quantas formas podemos escolher esses vencedores?

Solução:

Observe que as duplas AB e BA representam o mesmo resultado de sorteio pois não importa a ordem dos amigos A e B visto que ganham o mesmo prêmio.

Portanto o total de duplas vencedores é dada por .

Note que os grupos obtidos diferem entre si apenas pelos elementos que compõem a dupla, não importando a ordem em que aparecem. Esses grupos que obtemos acima são chamados de combinações simples dos seis elementos tomados dois a dois.

Notação:

Podemos indicar essa combinação por  ou .

Daí definimos:

Combinações simples dos n elementos de um conjunto E, tomados p a p (p ≤ n), são todos os subconjuntos de E com p elementos.

FÓRMULA DAS COMBINAÇÕES SIMPLES

Para calcularmos o número de combinações no exemplo acima procedemos da seguinte forma:

Calculamos o todas de grupos ordenados (Arranjo simples) e em seguida dividimos pela permutação dos elementos escolhidos afim de eliminarmos grupos formados pelos mesmos elementos mas em outra ordem.

Dessa forma, podemos entender que a combinação pode ser obtida pela divisão do Arranjo de n elementos tomados p a p pela permutação de p elementos.

Exemplo

Numa classe com dez alunos deseja-se formar uma comissão com três alunos. De quantas formas essa comissão pode ser formada?

Solução:

COMBINAÇÕES COMPLETAS

Chamamos de combinações completas (ou combinações com repetição) o total de possibilidades de escolhermos p elementos distintos (ou não!) de um total de n elementos distintos.

Observe o problema a seguir:

De quantos modos podemos comprar três picolés em uma sorveteria que oferece quatro sabores diferentes de picolés?

Solução:

O caso mais comum seria comprar três picolés diferentes e nessa caso usaríamos a convencional combinação de 4 escolhe-se 3 (C_{4, 3}) mas note que nesse caso nada impede a pessoa de comprar picolés com sabores repetidos.

Suponha que tenha disponível na sorveteria os sabores de amora, baunilha, chocolate e damasco (que chamaremos convenientemente de A, B, C e D).

Observe também que a ordem de escolha dos sorvetes não importa pois a pessoa levará todos que escolher. A resposta para o nosso problema é representada por CR_4,3 (Dos quatro sabores diferentes queremos escolher três não necessariamente distintos).

Podemos escolher três tipos da seguinte forma:

A A A

A A B

A B B

A A C

A C C

A A D

A D D

A B C

A B D

A C D

B B B

B B C

B C C

B B D

B D D

B C D

C C C

C C D

C D D

D D D

Essas são as CR_4,3 = 20 combinações completas possíveis para esse caso.

Podemos repensar esse problema de outra forma:

Consideremos a equação A + B + C + D = 3, e como as nossas variáveis representam quantidades, sabemos que são números naturais. Assim, podemos interpretar que cada solução para essa equação representa uma possível forma de escolhermos os três picolés.

Por exemplo, a solução (0, 2, 1, 0) representaria que desses quatro sabores que temos disponíveis vamos comprar 2 picolés de baunilha e 1 picolé de chocolate.

Observe o esquema a seguir:

A + B + C + D = 3

+ | | + | + (Leia a solução A = 0, B = 2, C = 1 e D = 0)

| + | + | + (Leia a solução A = 1, B = 1, C = 1 e D = 0)

Para cada mudança de posição desses seis símbolos, sendo três sinais ( | – que representam os sorvetes escolhidos) e três sinais ( + – que representam as separação dos sabores) temos uma, e somente uma, nova solução para essa equação.

Dessa forma, falta determinarmos de quantos modos podemos permutar esses seis símbolos, sendo que cada um deles aparece repetido três vezes. Portanto, temos que o total de permutações é  é a mesma operação que a combinação com repetição . Assim, concluímos que essa equação possui 20 soluções nos inteiros não negativos.

 Agora, faremos uma generalização de como podermos determinar o total de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear da forma x1+x2+x3+x4+…+xn=p, com x_i natural, sendo i natural, 1 ≤ i ≤ n.

Todo problema desse tipo poderá ser resolvido por meio de permutações com repetições, sendo a fórmula apresentada uma técnica opcional.