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VETORES E CINEMÁTICA VETORIAL

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VETORES E CINEMÁTICA VETORIAL

Aprenda sobre Vetores e Leitura Opcional.

VETORES

Os vetores são entes matemáticos compostos de módulo, direção e sentido. Módulo é o seu tamanho (medida de comprimento do vetor), direção pode ser horizontal, vertical, e sentido, direita, esquerda, norte, sul. Com essas três informações, temos um vetor.

As grandezas físicas podem ser vetoriais ou escalares. As vetoriais precisam de todas essas informações, como: velocidade, aceleração, força, torque, entre outras. Já as escalares, só precisam de um número, como: energia, temperatura, calor, trabalho e etc.

Representação de um vetor

Além do módulo do vetor, que é o seu tamanho, temos que colocar a sua direção e o seu sentido. Para isso, vamos usar os vetor unitário, cujo módulo é 1, e indicará a sua direção. É representado pelo sinal circunflexo. O sentido virá pelo sinal.

Vetor unitário na direção x	Vetor unitário na direção y	Vetor unitário na direção z
$\hat{i}$ : horizontal para direita	$\hat{j}$ : vertical para cima	$\hat{k}$ : saindo do papel
$-\hat{i}$ : horizontal para esquerda	$-\hat{j}$ : vertical para baixo	$-\hat{k}$ entrando no papel

Vetor unitário

Onde $\left | v \right |$ é o módulo de vetor $\vec{v}.$

$\left | v \right |=\sqrt{vx^{2}+vy^{2}+vz^{2}}$

Outra maneira de se representar um vetor, bastante usada na física, é a representação cartesiana. Por exemplo:

$\vec{v}=2\widehat{i}+5\widehat{k}$

É equivalente a:

$\vec{v}=(2,0,5)$

Além dessas duas representações, podemos usar os próprios eixos cartesianos, por exemplo, e representa-lo graficamente.

Exemplos:

Na figura abaixo temos um lançamento oblíquo.

Qual é o vetor velocidade do projétil no instante inicial?

Qual é o vetor velocidade do projétil em um instante de tempo t qualquer, sendo t menor que o tempo total do movimento?

Qual é o vetor aceleração que o projétil está submetido?

Resolução:

$\vec{v}=(v_{0}\: cos\alpha )\widehat{i}\: +\: (v_{0}\: sen\alpha )\widehat{j}$
$\vec{v}=(v_{0}\: cos\alpha )\widehat{i}\: +\: (v_{0}\: sen\alpha-gt )\widehat{j}$
$\vec{a}=-g\widehat{j}$

Qual é o vetor unitário na direção do vetor v = (1, -2, 4)?

Resolução:

$\widehat{u}= \frac{\vec{v}}{\left | v \right |}=\frac{(1,-2,4)}{\sqrt{1^{2}+-2^{2}+4^{2}}}=\frac{(1)}{\sqrt{21}},\frac{-2}{\sqrt{21}},\frac{4}{\sqrt{21}}$

Operações com Vetores

SOMA

No exemplo do lançamento oblíquo temos que os vetores $\vec{v_{0x}}=(v_{0}\: cos\alpha )\widehat{i}$ e $\vec{v_{0y}}=(v_{0}\: sen\alpha )\widehat{j}$ são as projeções ou decomposições do vetor $\vec{v_{0}}$ na direções horizontal e vertical. Como a soma das decomposições é o próprio vetor, temos que: $\vec{v_{0x}}+\vec{v_{0y}}=\vec{v_{0}}$

Usando Pitágoras, poderemos achar o módulo do vetor soma:

$\sqrt{\left | \vec{v_{0x}} \right |^{2}+\left | \vec{v_{0y}} \right |^{2}}=$ $\: \: \sqrt{(v_{0\:}cos\alpha)^{2} \: +\: \sqrt{(v_{0}\: sen\alpha )^{2}}=\: \left | \vec{v_{0}} \right |$

Abaixo temos a representação geométrica do vetor soma $\vec{a}+\vec{b}$ . Transladando o vetor $\vec{b}$ após o $\vec{a}$ e transladando o $\vec{a}$ após o $\vec{b}$ , esses vetores arrastados se encontrarão em um ponto. Da origem dos vetores até esse ponto, teremos o vetor soma. Essa é a regra do paralelogramo.

Usando a Lei dos Cossenos:

$\left | \vec{a+b} \right |=\: \sqrt{\left | \vec{a}^{2} \right |\: +\left | \vec{b}^{2} \right |+2\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |\: cos\alpha}$

Onde $\alpha .$ é o ângulo entre os vetores $\vec{a}\: \: e\: \: \vec{b}.$

Exemplo:

Qual a soma dos vetores abaixo, ou seja, qual o vetor resultante?

Resolução

Veja que:

$\vec{a}=(0,-6);\: \vec{b}=(4,-2);\: \vec{c}=(10,0);\: \vec{d}=(0,3);\: \vec{e}=(-6,9)$

Fazendo, $\vec{s}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}$

Teremos:

$\vec{s}=(0+4+10+0+-6,-6-2+0+3+9)=(8,4)$

A soma é um vetor que parte da origem e ocupa 8 quadrados na horizontal e 4 na vertical, como a figura abaixo:

Conhecida como regra do polígono.

Subtração

Na figura abaixo temos a representação geométrica do vetor diferença $\vec{a}-\vec{b.}$

Para facilitar a visualização, vamos chamar o vetor $\vec{a}$ de A – O e o vetor $\vec{b}$ de B – O. Então:

$\vec{a}-\vec{b}= (A-O)-(B-O)=A-B$

Ou seja, o vetor diferença começa em B e termina em A. Se fosse $\vec{b}-\vec{a}$ seria B – A, ou seja, apontaria para o sentido oposto ao $\vec{a}-\vec{b}$ . Logo:

$\vec{a}-\vec{b}=-(-\vec{b}-\vec{a})$

Exemplo 1:

A posição inicial de uma partícula é (0,0,2) m e a posição final é (2,0,0) m. Qual é o vetor deslocamento e qual o valor de seu módulo?

Resolução:

$\vec{\Delta S}=(2,0,0)-(0,0,2)=\: (2,0,-2)m\: \: ou\: \: (2\widehat{i}-2\widehat{k})m$

$\left | \vec{\Delta S} \right |=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{2}m$

Exemplo 2:

Mais para frente usaremos subtração vetorial para resolvermos exercícios que envolvem a grandeza vetorial momento linear ou quantidade de movimento $\vec{P}$ :

$\vec{p}=\vec{mv}$

Onde m é a massa do móvel e $\vec{v}$ o seu vetor velocidade.

Vamos supor que uma bolinha de tênis, de 50 g, bate em uma parede com uma velocidade $\vec{v_{0}}=(108,0)km/h$ e retorna com a mesma velocidade, em módulo. Qual é o módulo do vetor variação da quantidade de movimento $|\vec{\Delta p}|$ ?

Resolução:

Se retorna com a mesma velocidade, em módulo, podemos inferir que o vetor velocidade final vale:

$\vec{v}=\frac{(-108,0)km}{h}\: =\: \frac{(-30,0)m}{s}\therefore \: \vec{\Delta v}=\vec{v}-\vec{v_{0}}\: =\: (-30,0)-(30,0)=(-60,0)m/s$

Então:

$\vec{\Delta p}=\vec{m\Delta v}=0,05(-60,0)=(-3,0)kgm/s\: \: \therefore \: \: \left | \vec{\Delta \rho } \right |=3Kgm/s$

Note que, quando temos vetores em sentidos opostos, o módulo do vetor subtração será a soma de seus módulos.

Observação

O vetor $2\widehat{i}-2\widehat{k}$ pode ser escrito da seguinte forma: $2(\widehat{i}-\widehat{k})$ . Quando multiplicamos um vetor por um escalar (número), todas as componentes são multiplicadas pelo escalar:

$\vec{v}=\vec{au}\: \therefore \: \vec{v}=(au_{x},au_{y},au_{z})$

Exemplo:

Sabendo-se que o vetor força elétrica $(\vec{FE})$ é o produto entre a carga (q) de uma partícula e o campo elétrico $(\vec{E})$ que ela está submetida, qual é o vetor força elétrica que uma partícula de carga 2 μC sofre quando está em uma região cujo campo elétrico vale (10³, 0, 0) N/C ?

Resolução:

$\vec{Fe}= q\: .\: \vec{E}\: =\: 2\mu (10^{3},0,0)=\: (2.10^{-3},0,0)N$

Ou seja, seu módulo vale 2.10³ atua na direção horizontal e aponta para a direita. A unidade da grandeza força é N (Newton).

Observação: μ (micro) significa 10^-6. Ex.: 1 μm = 10^-6 m.

LEITURA OPCIONAL

A partir daqui o estudante irá ter contato com produto entre vetores. A leitura pode ser útil para entender com maior clareza conteúdos posteriores, como, por exemplo, as grandezas trabalho e torque.

Produto Vetorial

Várias grandezas físicas vetoriais são produtos vetoriais de outras grandezas vetoriais, por exemplo, força magnética $(\\vec{FM})$ :

$\vec{FM}=q.(\vec{v}x\vec{B})$

Onde q é a carga da partícula, $\vec{v}$ é o vetor velocidade da partícula que sofre a força magnética e $\vec{B}$ é o vetor campo magnético na região onde a partícula está se movimentando.

VETORES E CINEMÁTICA VETORIAL

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VETORES

Vetor unitário

Exemplos:

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Observação

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