TRABALHO E POTÊNCIA

TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE

A figura ilustra um corpo que sofre ação de uma força de módulo constante igual a  e se desloca através da reta r, que forma um ângulo θ com o vetor da força.

O trabalho realizado pela força em um deslocamento igual a d sobre a reta r é dado por:

A unidade do SI para o trabalho é o joule (J).

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. (ESPCEX (AMAN)) Um bloco, puxado por meio de uma corda inextensível e de massa desprezível, desliza sobre uma superfície horizontal com atrito, descrevendo um movimento retilíneo e uniforme. A corda faz um ângulo de 53° com a horizontal e a tração que ela transmite ao bloco é de 80 N. Se o bloco sofrer um deslocamento de 20 m ao longo da superfície, o trabalho realizado pela tração no bloco será de:

(Dados: sen 53° = 0,8 e cos 53° = 0,6)

a) 480 J
b) 640 J
c) 960 J
d) 1280 J
e) 1600 J

Resolução: C
Perceba que nessa questão o candidato devia fazer uma aplicação da fórmula:

τ = F . d . cos (θ)
τ = 80 .
20 . 0,6
τ = 960J

TRABALHO MOTOR E RESISTENTE

Caso o ângulo θ seja 0° ≤ θ < 90°, temos cos θ > 0. Logo, o trabalho é positivo e chamado de trabalho motor.

No trabalho motor, a força favorece o deslocamento.

Se 90° < θ ≤ 180°, temos cos θ < 0, assim, o trabalho é negativo e chamado de trabalho resistente. No trabalho resistente, a força é contra o movimento.

CASOS PARTICULARES

F e d têm direções perpendiculares entre si.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

02. (UERJ) O gráfico a seguir indica a variação da força resultante F que atua em um objeto de massa m, em uma
trajetória retilínea ao longo de um deslocamento de 12 m.

Calcule o trabalho, em joules, realizado por F nesse deslocamento.

Resolução:

O trabalho é numericamente igual a “área” entre a linha do gráfico e o eixo horizontal, fique atento no trecho entre 8 e
12 metros, temos um trabalho resistente (negativo) nesse trecho, por isso:

τ = área 1 – área 2

τ = 8 . 2/2 – 4 . 1/2

τ = 6J

TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL

Se ao longo do trajeto a força aplicada sobre o corpo variar, podemos encontrar o trabalho realizado por ela através da área do gráfico F × d

TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA ELÁSTICA

Vimos no estudo de dinâmica que, quando causamos uma deformação em uma mola, aparece uma força contrária chamada de força elástica, que é proporcional à deformação. Como se trata de força variável, não podemos usar a fórmula do cálculo do trabalho e sim usar a propriedade gráfica.

O gráfico consiste em uma reta. Utilizando a fórmula da área do triângulo, teremos:

(+): quando a mola estiver voltando para sua posição natural.

(–): quando a mola estiver se afastando da sua posição natural.

TRABALHO DE UMA FORÇA CONSERVATIVA

A energia mecânica do sistema não é alterada quando uma força conservativa realiza trabalho, isso ocorre, pois, esse tipo de força possui uma energia potencial associada para compensar as variações de energia cinética. Nesse caso temos uma conversão de energia potencial em cinética, caso o trabalho realizado seja motor (positivo); ou a conversão de energia cinética em energia potencial, caso o trabalho realizado seja resistente (negativo).

OBSERVAÇÃO

1. As forças elástica, peso e elétrica são forças conservativas.
2. O trabalho realizado pela força peso de um objeto de massa m, no deslocamento da altura A para altura B, independe da trajetória.

Exemplo:

Como o trabalho da força peso independe da trajetória podemos afirmar que o trabalho da força peso é igual pelos trajetos I, II e III da imagem acima, ou seja,

τI = τII = τIII.

Fique atento, pois, a força peso é a favor do movimento na descida e contrária ao movimento na subida, por isso:

τpeso = +P.h(descida)

τpeso = -P. h(subida)

EXERCÍCIO RESOLVIDO

03. (FAMERP) A figura mostra o deslocamento horizontal de um bloco preso a uma mola, a partir da posição A e até atingir a posição C.

O gráfico representa o módulo da força que a mola exerce sobre o bloco em função da posição deste.

O trabalho realizado pela força elástica aplicada pela mola sobre o bloco, quando este se desloca da posição A até a
posição B, é

a) 0,60 J
b) -0,60 J
c) -0,30 J
d) 0,80 J
e) 0,30 J

Resolução: A
O trabalho realizado pela força elástica será a área sob a curva entre o deslocamento da posição A até a posição B, de acordo com o gráfico a seguir:

W = Área = (8 + 4)N . (0,20 – 0.10)m/2 ∴W = 0,60 J

POTÊNCIA MÉDIA

A potência é uma grandeza que relaciona o trabalho com o tempo. A potência média pode ser calculada pela razão entre o trabalho executado e a variação do tempo.

Se desenvolvermos a fórmula do trabalho, teremos:

Como a velocidade média é a razão entre o deslocamento e o tempo:

A fórmula da potência pode ser expressa por:

A unidade de potência, no SI, é o watt (W).

Existem outras unidades conhecidas do cotidiano, como cavalo-vapor (cv) e horse-power (HP).

É comum também o trabalho ou energia ser representado na unidade quilowatt-hora (kWh), que corresponde à potência aplicada de 1 kW durante 1 h.

Para uma potência variável, temos:

POTÊNCIA EM HIDRELÉTRICAS

No território brasileiro existem mais 150 usinas hidrelétricas que são responsáveis pela geração de mais de 75% da eletricidade do País, as 3 maiores usinas hidrelétricas do Brasil são:

Usina Hidrelétrica de Itaipu: Estado: Paraná | Rio: Paraná | Capacidade: 14.000 MW

Fonte: http://www.brasil.gov.br/noticias/meio ambiente/2010/11/matriz-energetica

Usina Hidrelétrica de Belo Monte: Estado: Pará | Rio: Xingu | Capacidade: 11.233 MW

Fonte: http://www.brasil.gov.br/noticias/meio-ambiente/2010/11/matriz-energetica

Usina Hidrelétrica São Luíz do Tapajós: Estado: Pará | Rio: Tapajós | Capacidade: 8.381 MW

Fonte: http://www.brasil.gov.br/noticias/meio-ambiente/2010/11/matriz-energetica

O Brasil goza de enorme potencial hídrico, um dos maiores do mundo. O potencial hídrico de uma queda d’água depende da densidade absoluta da água (µ), da aceleração da gravidade (g), do desnível entre o topo e o sopé (h) e do volume de líquido que despenca por unidade de tempo – vazão em volume.

( Z = V(Volume)/∆t(intervalo de tempo) )

Vamos adotar, nos próximos cálculos, que a água possui velocidade nula ao partir do topo da queda e que m representa a massa de água que cai do topo da queda em um intervalo de tempo ∆t.

A potência hídrica média teórica envolvida nesse contexto é dada por:

Potᵐ = τ/∆t
(l)
Potᵐ = m . g . h/∆t

A densidade absoluta da água é conhecida pela relação:

µ = m(massa)/V(volume)
m = µ . V(ll)
Substituindo (ll) em (l)

Potᵐ = µ . V . g . h/∆t

Perceba que o quociente V/∆t representa a vazão em volume Z da queda d’água.
Assim:

Potᵐ = µ . g . Z . h

EXERCÍCIO RESOLVIDO

04. (ENEM) A usina de Itaipu é uma das maiores hidrelétricas do mundo em geração de energia. Com 20 unidades geradoras e 14.000 MW de potência total instalada, apresenta uma queda de 118,4 m e vazão nominal de 690 m³/s por unidade geradora. O cálculo da potência teórica leva em conta a altura da massa de água represada pela barragem, a gravidade local (10 m/s²)e a densidade da água (1.000 kg/m³). A diferença entre a potência teórica e a instalada é a potência não aproveitada.

Disponível em: www.itaipu.gov.br. Acesso em: 11 mai. 2013 (adaptado)

Qual e a potência, em MW não aproveitada em cada unidade geradora de Itaipu?

a) 0
b) 1,18
c) 116,96
d) 816,96
e) 13.183,04

Resolução: C
A potência teórica (PT) em cada unidade corresponde à energia potencial da água represada, que tem vazão

z = V/∆t= 690m³ / s

Sendo µ a densidade da água, g a aceleração da gravidade e h a altura de queda, tem-se:

Potᵀ = µ . g . Z . h
Potᵀ = 10³ . 10 . 690 . 118,4
Potᵀ = 816,96 . 10⁶W
Potᵀ = 816,96 MW

A potência gerada em cada unidade é:
Pᴳ = 14.000/20 ⇒ Pᴳ = 700MW.

A potência não aproveitada (dissipada) corresponde à diferença entre a potência teórica e a potência gerada.
Pᴰ = Pᵀ – Pᴳ = 816,96 – 700 ⇒ Pᴰ = 116,96 MW.