Roldanas, elevadores e plano inclinado

PLANO INCLINADO

SEM ATRITO

A figura acima representa um corpo sobre um plano inclinado de um ângulo θ com a horizontal. O corpo sofre ação de duas forças: a que a Terra exerce sobre ele (PESO: sempre na vertical e dirigida para o centro da Terra) e a força que o plano exerce sobre ele (NORMAL: pois estamos considerando o plano inclinado sem atrito).

Para facilitar o estudo do movimento que o corpo vai adquirir, usa-se o artifício de decompor a(s) força(s), neste caso apenas o peso, que interferirão no movimento. A escolha dos eixos é fundamental: um eixo deve ser sempre na direção do movimento (eixo x), neste caso na direção do plano inclinado e outro perpendicular ao anterior (eixo y), que ficará sobre a normal.

As componentes do Peso são perpendiculares entre si e para calculá-las vamos utilizar as funções trigonométricas:

Feita a decomposição do Peso o bloco agora sofre apenas forças que estão sobre os eixos, utilizando a 2ª lei de Newton:

EIXO Y: o bloco não se move, as forças sobre esse eixo se anulam.

EIXO X: apenas a componente do Peso atua, portanto o bloco desce acelerado:

COM ATRITO

Agora com o plano inclinado rugoso, teremos uma força de atrito aplicada por ele sobre o bloco, no sentido contrário à tendência do movimento relativo. Vamos estudar as possíveis situações que podem ocorrer:

Com o Peso já decomposto faremos as análises em cada eixo:

EIXO Y: o bloco não se move sobre esse eixo e as forças continuam se anulando.

EIXO X: Repouso ou MRU: Se a força de atrito for igual à componente P_X, a força resultante sobre esse eixo também será zero, então o bloco poderá estar em repouso ou descendo com velocidade constante (a = 0).

Usando que  (eixo y)

 Quando o bloco está na iminência de se mover.

Quando o bloco estiver na iminência de se mover (Px = FAT máx) a tangente da inclinação será igual ao coeficiente de atrito estático entre o plano e o bloco.

Acelerado: Se a componente  for maior que a força de atrito, então a força resultante nesse eixo será diferente de zero e o bloco descerá acelerado.

OBSERVAÇÃO

O plano inclinado é uma situação muito utilizada para verificar o valor do coeficiente de atrito de uma superfície. É importante a identificação da direção e do sentido das forças que atuam num corpo que esteja em um plano inclinado. No exemplo a seguir, as forças que atuam no corpo devem ser destacadas.

Exemplo:

Uma máquina utiliza um carrinho para retirar carvão do interior de uma mina, puxando-o, sobre um plano inclinado, por meio de um cabo de aço, como mostra a figura abaixo.

Considerando o seguinte código, sejam as forças:

• T é a força feita pelo cabo de aço no carrinho;

• fa é o somatório das forças de atrito nas rodas do carrinho;

• P é a força de atração gravitacional da Terra sobre o carrinho;

• N é a componente normal da força dos trilhos sobre o carrinho.

O diagrama que representa corretamente estas forças está mostrado na alternativa.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. (PUCCAMP) Para se calcular o coeficiente de atrito dinâmico entre uma moeda e uma chapa de fórmica, a moeda foi colocada para deslizar pela chapa, colocada em um ângulo de 37° com a horizontal.

Foi possível medir que a moeda, partindo do repouso, deslizou 2.0 m em um intervalo de tempo de 1,0 s, em movimento uniformemente variado.

Adote g = 10 m/s², sen 37°= 0,60 e cos 37°= 0,80.

Nessas condições, o coeficiente de atrito dinâmico entre as superfícies vale

a) 0,15
b) 0,20
c) 0,25
d) 0,30
e) 0,40

Resolução: C
Analisando o proposto pelo enunciado, podemos desenhar o diagrama de forças que atuam sobre o corpo.

Assim, analisando as forças, temos que:

{Fᴿ = P . sen(37°) – Fᵃᵗ
{P . cos(37°) = N

Pelos dados de deslocamento, podemos calcular a aceleração da moeda no tempo dado:

∆S = v⁰ . t + a . t²/2
2 = a . 1²/2
a = 4 m / s²

Diante disto temos que =

Fᴿ = P . sen(37°) – Fᵃᵗ
Fᴿ = P. sen(37°) – µ . N
Fᴿ = P . sen(37°) – µ . P . cos(37°)
m . a = m . g . sen(37°) – µ . m . g . cos(37°)
a = g . sen(37°) – µ . g . cos(37°)
4 = 10 . 0,6 – µ . 10 . 0,8
µ = 0,25

ROLDANAS OU POLIAS MÓVEIS

Um aparato muito importante para a evolução principalmente da engenharia civil, a polia ou roldana é um disco sulcado em sua periferia utilizado para transferir força e energia. Dependendo de como ela é utilizada pode diminuir o esforço realizado ou apenas mudar a direção e o sentido da força.

ROLDANA FIXA – Não interfere no valor da força resultante, apenas modifica a direção ou sentido da força.

ROLDANA MÓVEL – Diminui o esforço aplicado, já que parte da força é exercida pelo teto que sustenta o aparato.

R = F . 2ⁿ
R ➞ força resultante no bloco
F ➞ força aplicada
n ➞ número de polias móveis

Como não existem milagres, o esforço recebido por uma polia móvel é descontado com a perda no deslocamento. Se deseja erguer um bloco utilizando polias móveis, a força aplicada será multiplicada por 2ⁿ, onde n é o número de polias móveis utilizadas, mas por outro lado a altura obtida será o comprimento de corda puxada dividido pelo mesmo 2ⁿ.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

02. (ITA – MODIFICADO) O arranjo de polias da figura é preso ao teto para erguer uma massa de 24 kg, sendo os fios
inextensíveis, e desprezíveis as massas das polias e dos fios. Desprezando os atritos, determine, em newtons:

O valor do módulo da força F necessário para equilibrar o sistema e o valor do módulo da força F necessário para erguer a massa com velocidade constante.

a) 48 e 60
b) 60 e 48
c) 48 e 48
d) 60 e 60
e) 60 e 120

Resolução: D

a) Se o sistema está em equilíbrio estático, a resultante das forças é nula. A figura ilustra essa situação de equilíbrio.

F = T/4 = P/4 = m g/4 = 240/4 ➱ F = 60 N

b) Se o sistema é erguido com velocidade constante, é uma situação de equilíbrio dinâmico. A resultante das forças também é nula.

Assim:

F = T/4 = P/4 = m g/4 = 240/4 ➱ F = 60 N

MÁQUINA DE ATWOOD

Na figura a seguir, encontramos um arranjo conhecido como Máquina de Atwood. Temos uma polia, e um fio ideal ligando dois corpos de massas MA e MB. Ambos sofrem a aceleração da gravidade e nesse caso, o corpo com massa maior tenderá a descer e o corpo “mais leve” irá subir.

Ambos sofrem a aceleração da gravidade e, nesse caso, o corpo com massa maior descerá e o corpo de massa menor subirá, mas ambos com acelerações de mesmo módulo, mas de sentidos opostos.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

03. (UERN) O sistema a seguir apresenta aceleração de 2 m/ s² e a tração no fio é igual a 72 N. Considere que a massa de A é maior que a massa de B o fio é inextensível e não há atrito na polia. A diferença entre as massas desses dois corpos é igual a (Considere g = 10 m/s²) 

a) 1 Kg
b) 3 Kg
c) 4 Kg
d) 6 Kg
e) 9 Kg

Resolução: B
Como a massa do bloco A é maior que a massa do bloco B, a tendência do sistema de blocos é “girar” no sentido anti-horário, ou em outras palavras, o bloco A descer e o bloco B subir.

Desta forma, temos que:

Analisando os blocos separadamente, temos que no bloco A só existe duas forças atuando, sendo elas o peso do bloco A e a tração do fio. Assim:

Fᴿ = mᴬ . a = Pᴬ – T
2 . mᴬ = 10 . mᴬ – 72
8 . mᴬ = 72
mᴬ = 9kg

Analogamente, no bloco B temos duas forças atuando, sendo elas o peso do bloco e a tração do fio.

Assim: 

Fᴿ = mᴮ . a = T – Pᴮ
2 . mᴮ = 72 – 10 . mᴮ
12 . mᴮ = 72
mᴮ = 6kg

Assim, a diferença entre as massas dos blocos será de :

mᴬ – mᴮ = 9 – 6 = 3kg

ELEVADORES

As balanças, nas quais subimos, acusam a força que exercemos sobre elas, que pode ou não coincidir com o nosso peso. É o caso de uma balança dentro de um elevador, sobre a qual se encontra uma pessoa, a balança indicará uma força que pode ser igual, maior ou menor que o verdadeiro peso da pessoa, podendo até mesmo não indicar força nenhuma mesmo a pessoa estando sobre a balança. Vejamos os casos possíveis:

Representação das forças que interessam à questão:

Observe que  e  sempre terão o mesmo módulo, pois formam par ação e reação, mas  e  só serão iguais se o homem estiver em equilíbrio (R = 0, 1ª Lei de Newton).

Situações Possíveis:

1ª) Elevador em repouso, como   a balança indica um valor igual ao peso do homem.

2ª) Elevador sobe em movimento acelerado ou desce em movimento retardado, haverá uma aceleração para cima. Pela 2ª Lei de Newton tem que haver uma resultante para cima,  a balança indica um valor maior que o peso do homem.

3ª) Elevador subindo ou descendo em MRU, 1ª Lei de Newton    a balança indica uma força igual ao peso do homem.

4ª) Elevador subindo em movimento retardado ou desce em movimento acelerado. Deve haver uma aceleração para baixo e consequentemente uma resultante para baixo. . O elevador indica uma força menor que o peso do homem.

5ª) O elevador cai em queda livre. Sobre o homem atua apenas a aceleração da gravidade, logo a única força que age sobre ele é seu peso. . A balança indica zero.

OBSERVAÇÃO

Seria muito importante que você tirasse as mesmas conclusões pensando exclusivamente em INÉRCIA.

SISTEMA DE CORPOS

Uma das situações mais comuns de estudo na Física é o sistema formado por vários corpos, em sua maioria blocos, que se comunicam por contato direto ou através de fios ou molas.

Em cima desses sistemas são formulados vários questionamentos, normalmente sobre a aceleração, a tração, a força de contato.

O processo de resolução, pode-se dizer que, segue “uma receita” bastante simples:

1. Leia o problema com calma, retirando todos os dados e o que o problema pede.

2. Isole o(s) corpo(s). Isolar um corpo é retirá-lo do contexto e representar corretamente as forças que agem sobre ele. Lembre-se não havendo atrito a força de contato é perpendicular ao contato. Havendo atrito você não deve representar a força de contato e sim suas duas componentes: Normal e Fat.

3. Aplique Newton:

3.1 Se há Equilíbrio  

3.2 Se não há equilíbrio  (não esqueça que  e  terão sempre a mesma direção e sentido.)