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Queda-livre e lançamento vertical

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Queda-livre e lançamento vertical

Aprenda sobre Queda-Livre e Lançamento Vertical.

QUEDA-LIVRE

Dois objetos quaisquer, de massas diferentes, quando abandonados a certa altura, estão submetidos à mesma aceleração, a gravidade. Então, a taxa de variação de suas velocidades é a mesma, não importando a massa (vamos ignorar a resistência do ar). Esse é o princípio da equivalência, de Galileu Galilei.

Vamos imaginar que um objeto foi abandonado a uma altura de 80 m. Quanto tempo leva para tocar no solo? Qual a sua velocidade nesse instante?

Vamos começar com a equação de Torricelli para descobrirmos a sua velocidade final. Perceba que, como o objeto foi abandonado, v₀= 0, ΔS é o seu deslocamento, ou seja, a altura (h) e a = g = 10 m/s².

$v^{2}=v_{0}^2+2a\Delta S$

$v^{2}= 2gh\therefore \: v^{2}=2.10.80\therefore \: v=40m/s$

E o tempo?

$v=v_{0}+at$

$v=gt\: \therefore \: 40=10t\:\therefore t=4s$

OBSERVAÇÃO

Há uma particularidade no M.R.U.V. Repare que:

No 1º segundo de queda-livre, um objeto percorre

$\Delta S=v_{0}t+\frac{at^{2}}{2}=\frac{gt^{2}}{2}=5 m$

No 2º segundo de queda-livre, um objeto percorre

$\Delta S=v_{0}t+\frac{at^{2}}{2}=\frac{gt^{2}}{2}=20 m$

Essa é a distância percorrida nos dois primeiros segundos. No 2º segundo, 20 – 5 = 15 m.

No 3º segundo, um objeto percorre

$\Delta S=v_{0}t+\frac{at^{2}}{2}=\frac{gt^{2}}{2}=45 m-20m=\, 25m.$

Conseguimos perceber que o deslocamento no segundo seguinte é 10 m maior que no segundo anterior: $5m,15m,25m,35m,\, \textup{e etc}\, (a,3a,5a,7a,\, \textup{e etc})$ . Essa é a p.a. (progressão aritmética) de Galileu. Por exemplo, no 10º segundo de queda, um objeto percorreria $19\cdot 5=95m$ . Para saber o deslocamento total até o 10º segundo, basta somarmos $5+15+25+...+95=500m$ . Aplica-se a equação horária da posição, chegaríamos ao mesmo resultado: $\Delta S=\frac{gt^2}{2}=5\cdot 10^2 = 500m$ .

2. LANÇAMENTO VERTICAL

Considere uma situação onde um objeto é arremessado verticalmente para cima e retorna ao ponto inicial. Vamos analisar primeiro a subida e depois a descida.

Na subida:

$v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S$

No ponto mais alto da trajetória a velocidade é zero, então:

$0=v_{0}^{2}-2gh\therefore h=\frac{v_{0}^{2}}{2g};\, \textup{altura m\'axima}$

Temos também que:

$\Delta S=v_{0}t+\frac{at^{2}}{2}$

$h=v_{0}t- \frac{gt^{2}}{2}\: \therefore \: h=(\sqrt{2gh})t-\frac{gt^{2}}{2}\: \therefore \: 2h=2(\sqrt{2gh})t-gt^{2}$

$(2h+gt^{2})^{2}=4\cdot 2ght^{2}\: \: \therefore 4h^{2}+g^{2}t^{4}+4ght^{2}=8ght^{2 }$

$g^{2}t^{4} - 4ght^{2}+4h^{2}=0;\: \: t^{4}=z^{2}$

$g^{2}z^{2}-4ghz+4h^{2}=0\: \: \therefore \: t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Esse é o tempo que o objeto levaria para alcançar a altura máxima h.

Na descida:

A velocidade inicial é zero, então:

$\Delta S= v_{0}t+\frac{at^{2}}{2}\: \: \therefore \: \: h=\frac{gt^{2}}{2}\: \therefore \: t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Note que o tempo de descida é igual ao de subida! E como a velocidade depende apenas do tempo (mesma aceleração), a velocidade no 1º segundo de subida é igual ao 1º de descida, por exemplo.

Tempo total do movimento (subida e descida): $t=2\: \: \: \: \: \: \sqrt{\frac{2h}{g}}$ .