LANÇAMENTO OBLÍQUO
O lançamento oblíquo, assim como o lançamento horizontal, é uma composição de dois movimentos distintos nos eixos x e y.
A trajetória descrita pela partícula em um lançamento oblíquo é uma parábola: no quadro abaixo, há uma comparação entre os tipos de movimento no eixo x e no eixo y.
ANALISANDO A VELOCIDADE
*o valor da velocidade de colisão com o solo é igual ao valor da velocidade de lançamento sempre que a posição de lançamento e o solo estiverem no mesmo plano horizontal de referencial.
ANALISANDO A ACELEREÇÃO
Aceleração constante na vertical (MUV)
Aceleração nula na horizontal (MU)
A velocidade inicial (vᵒ) deve ser decomposta em duas componentes, suas projeções no eixo x (vᵒˣ ) e y (vᵒʸ), sendo
O módulo da velocidade inicial pode ser tirada através da utilização do Teorema de Pitágoras:
V² ᵒ = V² ᵒˣ + V² ᵒʸ
A velocidade resultante pode ser obtida em qualquer instante, utilizando suas componentes x e y no mesmo instante; e utilizando o Teorema de Pitágoras:
V² = V²ˣ + V²ʸ
OBSERVAÇÃO
Não esqueça que o elo entre os movimentos é o tempo. Por exemplo, o tempo para que a partícula atinja a altura máxima (eixo y) é o mesmo para percorrer metade do alcance (eixo x).
O tempo de subida é o mesmo da descida e, dessa forma, metade do tempo total.
tᵀ = tˢ + tᵈ = 2tˢ
RELAÇÕES IMPORTANTES
Os problemas de lançamento oblíquo, normalmente, pedem o cálculo de algumas grandezas especiais, que poderão ser calculadas pelas expressões abaixo:
TEMPO DE SUBIDA (TS)
É o tempo desde o ponto do lançamento até o ponto mais alto atingido pelo projétil. Da função horária da velocidade, temos:
vʸ = vᵒʸ – g . t
Pois no ponto mais alto vʸ = 0, assim:
0 = vᵒʸ – g . t
g . t = v⁰ ⋅ senθ
tˢ = v⁰ . senθ/g
ALTURA MÁXIMA (HMÁX)
É a máxima altura que o objeto alcança em sua trajetória.
Da função horária da velocidade, temos:
Vʸ = V⁰ʸ – g · t
No ponto mais alto Vʸ = 0, assim:
0 = V⁰ʸ – g · tˢ
V⁰ʸ = g · tˢ (I)
Da função horária da posição, temos:
h = h⁰ + V⁰ʸ . t – g.t²/2 (ll)
Substituindo (I) em (II) e considerando h0 = 0, temos
hᵐᵃˣ = 0 + g . tˢ . tˢ – g . tˢ ²/2
hᵐᵃˣ = g . tˢ ² – g.tˢ ²/2
hᵐᵃˣ = g . tˢ ²/2
hᵐᵃˣ encontrada na equação acima é a altura máxima a partir do ponto de lançamento em função do tempo de subida. Atenção ao usar essa relação, o tempo usado é necessariamente o tempo de subida quando se deseja encontrar a altura máxima. Para alturas intermediárias usar as relações gerais.
Podemos escrever a altura máxima em função do módulo da velocidade inicial V0 de lançamento, de Torricelli temos:
Vʸ ² = V⁰ʸ ² – 2 . g . ∆h
No ponto mais alto Vʸ = 0. Considerando h⁰ = 0, temos que
0² = V⁰ʸ ² – 2 . g . hᵐᵃˣ
2 . g . hᵐᵃˣ = V⁰ʸ ²
hᵐᵃˣ = V⁰ʸ ²/2 . g
hᵐᵃˣ = (V⁰senθ)²/2 . g
hᵐᵃˣ = V⁰ ²sen²(θ)/2 . g
ALCANCE (A)
É a distância percorrida na horizontal (eixo x), onde o movimento é uniforme:
A = vˣ . tᵗ
A = V⁰ . cosθ . 2v⁰senθ/g
A= V² ⁰ . sen2θ/g
Lembrando que sen(2θ) = 2senθcosθ
Para que o alcance seja máximo, o ângulo de lançamento deve ser igual a 45° (θ = 45°), uma vez que o valor máximo que a função seno pode ter é 1, então:
Sen2θ = 1 2θ = 90° θ = 45°
OUTRAS RELAÇÕES ENTRE ÂNGULOS DE LANÇAMENTO
Lançamentos com mesma velocidade inicial e ângulos complementares (a soma é 90°) possuem mesmo alcance, porém, o tempo de voo são diferentes.
OBSERVAÇÃO
O lançamento oblíquo é um tema comum de ser associado com saltos, como, por exemplo, o salto em distância ou até mesmo numa situação onde um jogador de futebol chuta uma bola. Neste caso, devemos utilizar a composição de dois movimentos buscando identificar tanto o tempo de voo quanto o alcance do lançamento.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. (PUC-SP (MODIFICADA))
Suponha que Cebolinha, para vencer a distância que o separa da outra margem e livrar-se da ira da Mônica, tenha conseguido que sua velocidade de lançamento, de valor 10 m/s, fizesse com a horizontal um ângulo a, cujo sen(θ) = 0,6 ecos(θ) = 0,8. Desprezando-se a resistência do ar, determine o intervalo de tempo de voo e o alcance máximo da Cebolinha.
a) 2,0 s 9,6 m
b) 1,8 s 12,5 m
c) 1,6 s 12,5 m
d) 1,2 s 9,6 m
e) 0,8 s 8,0 m
Resolução: D
Decompondo a velocidade inicial V⁰
Vˣ = V⁰ cos(θ) = 10 · 0,8 = 8 m/s
V⁰ʸ = V⁰ sen(θ) = 10 · 0,6 = 6 m/s
Calculando o tempo de subida
Tˢ = V⁰ʸ/g = 6/10
Tˢ = 0,6 segundos
Como na questão não há desnível, o tempo de subida é igual ao tempo de descida, por isso temos que:
tᵛᵒᵒ = tˢᵘᵇⁱᵈᵒ + tᵈᵉˢᶜⁱᵈᵃ
tᵛᵒᵒ = 0,6 + 0,6
tᵛᵒᵒ = 1,2 segundos
Para encontrar o alcance máximo podemos usar Vˣ = ∆S/∆t , onde ∆S é o alcance A e ∆t é o tempo de voo
Vˣ = ∆S/∆t
A = Vˣ . tᵛᵒᵒ
A = 8 ⋅ 1,2
A = 9,6 metros
02. Um jogador de futebol chuta uma bola fazendo um ângulo de 30° em relação a horizontal. Durante a trajetória, a bola alcança uma altura máxima de 7,2 metros. Considerando que o ar não interfere no movimento da bola, determine a velocidade que a bola adquiriu após sair do contato com o pé do jogador.
Adote: g = 10 m/s² e sen(30°) = 0,5
Resolução:
Sabendo que na posição de altura máxima a componente vertical da velocidade é zero, utilizando a equação de Torricelli, temos que:
V² = V² ⁰ʸ + 2 . a . ∆S
0 = V² ⁰ʸ – 2 . g . Hᵐᵃˣ
V² ⁰ʸ = 2 . 10 . 7,2
V² ⁰ʸ = 144
V⁰ʸ = √144
V⁰ʸ = 12 m / s
Note que a aceleração neste movimento é em módulo igual a aceleração da gravidade. Porém, a = -g, devido a aceleração da gravidade, no movimento analisado, está contra o sentido do movimento de subida.
Sabendo que o ângulo de lançamento da bola é de 30° podemos encontrar a velocidade inicial da bola.
V⁰ʸ = V⁰ . sen(30°)
12 = V⁰ . 0,5
V⁰ = 12/0,5
V⁰ = 24 m / s
