Espelhos e lentes: raios particulares
ESPELHOS ESFÉRICOS
Os espelhos esféricos consistem em superfícies refletoras na forma de calotas esféricas, ou seja, são obtidos seccionando-se uma superfície esférica através de um plano.
Existem dois tipos de espelhos esféricos: o espelho côncavo possui a parte voltada para o centro de curvatura, como a superfície espelhada e refletora. No espelho convexo a face espelhada está voltada para o lado externo oposto ao centro de curvatura.
Existem alguns elementos de suma importância cujos conceitos devem ser muito bem entendidos:
• Raio de curvatura (R): consiste no raio da superfície esférica que originou a calota, ou seja, o próprio espelho.
• Centro de curvatura (C): é o centro da esfera original.
• Vértice (V): é o polo da calota.
• Foco Principal (F): ponto para onde os raios paralelos ao eixo principal são refletidos.
• Distância focal (f): consiste na distância do vértice ao foco principal e equivale aproximadamente à metade do raio de curvatura.
• Eixo principal: é a reta que passa pelo centro de curvatura e pelo vértice.
• Eixos secundários: são retas perpendiculares à superfície do espelho que passam pelo centro de curvatura.
Assim como o eixo principal determina o foco principal, devido à existência dos eixos secundários, também existirão os focos secundários. Cada foco secundário depende dos raios incidentes, pois, paralelo a esses, traça-se o eixo secundário próprio e o foco secundário será determinado pelo cruzamento do eixo secundário com os raios refletidos, como mostra a figura ao lado.
ESPELHOS ESFÉRICOS GAUSSIANOS
O estudo da imagem conjugada pelos espelhos esféricos é muito complicado na prática. Isto se deve ao fato dos raios refletidos pelos espelhos esféricos não se cruzarem em um mesmo ponto (como mostra a figura a seguir), o que faz com que chamemos os espelhos esféricos de astigmáticos, e assim, há formação de uma mancha e não uma imagem nítida.
Nos primeiros anos do século XVIII, o físico e matemático Gauss percebeu que se considerarmos condições especiais, a imagem pode ser mais facilmente estudada. Chamamos de espelhos esféricos gaussianos aqueles que respeitam as condições enumeradas por Gauss que são:
• os raios de luz devem ser pouco inclinados em relação ao eixo principal;
• os raios de luz devem incidir próximos ao vértice do espelho.
A não ser que esteja claramente especificado, iremos considerar sempre os espelhos como gaussianos.
RAIOS PARTICULARES
Na determinação da imagem iremos considerar sempre os raios particulares. A imagem irá se formar no ponto de encontro dos raios refletidos ou no ponto de encontro dos prolongamentos dos raios refletidos. Os raios particulares são:
• Todo raio que incide numa direção que passa pelo centro de curvatura reflete sobre si mesmo. Isto se deve ao fato de o raio possuir a mesma direção da reta normal;
• Todo raio que incide no vértice do espelho reflete simetricamente ao eixo óptico principal. Nesse caso, o eixo principal se confunde com a normal;
• Todo raio que incide paralelamente ao eixo óptico reflete em uma direção que passa pelo foco principal do espelho;
• Todo raio que incide numa direção que passa pelo foco principal reflete paralelamente ao eixo óptico principal.
CLASSIFICAÇÃO DAS IMAGENS
Uma imagem pode ser:
• direita → se o objeto estiver no mesmo semiplano da imagem, ou seja, em cima ou embaixo;
• invertida → se o objeto e a imagem estiverem em semiplanos diferentes;
• maior → se o tamanho da imagem for maior que o do objeto;
• menor → se a imagem for menor que o objeto;
• igual → se o objeto e a imagem possuírem o mesmo tamanho;
• real → se a imagem for formada diante do espelho. Dependendo do poder refletor do espelho, só poderá ser observada através de projeções em anteparos;
• virtual → quando obtemos a imagem a partir do encontro do prolongamento dos raios luminosos e não a partir
dos próprios raios, dizemos que a imagem é virtual. Nas representações a imagem se forma atrás do espelho.
DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA IMAGEM
Considere um objeto AB colocado diante de um espelho esférico. Utilizaremos os raios particulares para se obter a posição correta da imagem no eixo principal.
Na determinação gráfica da imagem, consideremos a luz que parte da extremidade A que sofrerá reflexão e formará a extremidade A’ da imagem. Basta ligar o ponto A’ ao eixo principal, obtendo o ponto B’ e, dessa forma, determinando a imagem A’B’. A cada posição diferente que colocamos o objeto, a imagem se apresentará diferente. Veremos abaixo todas as diferentes imagens formadas e suas respectivas classificações:
EM ESPELHO CÔNCAVO
• Objeto Antes do Centro de Curvatura
• Objeto Sobre o Centro de Curvatura
• Objeto Entre o Centro e o Foco
• Objeto Sobre o Foco
• Objeto Entre o Foco e o Vértice
EM ESPELHO CONVEXO
O chamado espelho de aumento é o espelho côncavo com o objeto colocado entre o foco e o vértice. Este espelho é normalmente utilizado por dentistas.
O espelho convexo produz sempre uma imagem menor e, por isso, é muito utilizado em retrovisores pois oferece um maior campo visual.
Podemos perceber também que sempre que o objeto e a imagem possuírem a mesma natureza, ou seja, os dois virtuais ou os dois reais, a imagem será invertida. Caso o objeto e a imagem possuam naturezas diferentes, um real e o outro virtual, a imagem será direita.
LENTES ESFÉRICAS
Consiste na união de dois dioptros, sendo um necessariamente esférico e outro podendo ser esférico ou plano. Normalmente, as lentes esféricas são compostas de vidro e serão considerados os casos em que elas são envolvidas por somente um meio. As lentes, como constituem um meio de propagação, possuem seu próprio índice de refração.
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
Através da figura abaixo, iremos identificar os elementos geométricos principais das lentes:
Em que:
• C1 e C2 são os centros de curvatura das faces S1 e S2
• R1 e R2 são os raios de curvatura das faces S1 e S2;
• V1 e V2 são os vértices(interseções do eixo principal com as faces S1 e S2);
• eixo óptico principal é a reta que passa por C1 e C2;
• e = V1V2 é a espessura da lente.
CLASSIFICAÇÃO DAS LENTES
Apresentaremos, agora, os grupos e as classificações das lentes. Uma primeira classificação refere-se à espessura. As lentes que serão preferencialmente estudadas são as lentes de espessura desprezível, que são chamadas de lentes delgadas. Além desse tipo especial de lentes, levaremos em conta a classificação em duas categorias.
• Quanto às faces: existem seis tipos diferentes de lentes que podem ser divididos em dois grupos: bordos finos e grossos.
• Quanto ao comportamento óptico: são duas classificações possíveis: convergente ou divergente.
Após os raios passarem por uma lente convergente eles convergem, ou seja, formam um pincel de luz convergente. Do mesmo modo, se um feixe de luz incidir sobre uma lente divergente, haverá a formação de um pincel de luz divergente.
Para que uma lente seja classificada de convergente ou divergente, é preciso comparar seu índice de refração com o índice de refração do meio que a envolve. Se o índice de refração da lente for maior que o índice do meio externo, as lentes de bordos finos serão convergentes e as de bordos grossos serão divergentes. Caso o meio externo seja mais refringente que a lente, as lentes de bordos finos serão divergentes e as de bordos grossos serão convergentes.
nL > nMEIO
Bordos finos: convergente
Bordos grossos: divergente
nL > nMEIO
Bordos finos: divergente
Bordos grossos: convergente
FOCOS E PONTOS ANTIPRINCIPAIS
Nas lentes delgadas existem dois focos principais: o foco imagem e o foco objeto. Quando raios paralelos incidem na lente, ao refratar suas direções passam sempre pelo mesmo ponto denominado foco imagem (F’).
Raios incidentes com sua direção passando pelo foco objeto (F) refratam paralelamente ao eixo principal.
A distância focal será a distância entre o centro óptico da lente e qualquer um dos dois focos, pois os focos estão equidistantes da lente. Na figura, a distância focal pode ser representada por FO ou F’O.
Além dos focos, existem os pontos antiprincipais, que também são dois, e estão representados na figura abaixo por A (ponto antiprincipal objeto) e A’ (ponto antiprincipal imagem).
RAIOS LUMINOSOS PARTICULARES
Assim como acontece com os espelhos, as lentes também possuem seus raios particulares, que são úteis na determinação gráfica das imagens.
• Todo raio de luz que incide no centro óptico não sofre desvio.
• Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal refrata em um direção que passa pelo foco imagem principal.
• Todo raio que incide em uma direção que passa pelo foco objeto principal refrata paralelamente ao eixo principal.
• Todo raio que incide em uma direção que passa pelo ponto antiprincipal objeto refrata em uma direção que passa pelo ponto antiprincipal imagem.
DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA IMAGEM
A determinação gráfica de uma imagem produzida por uma lente é um processo análogo ao de espelhos esféricos. Devemos traçar os raios particulares e a imagem será formada pela interseção dos raios que emergem da lente. Existe uma grande diferença na hora de classificarmos as imagens em reais ou virtuais. Uma imagem é considerada virtual quando ela pode ser observada atrás do espelho ou lente pelo observador. Porém, nos espelhos esféricos, o observador se encontra do mesmo lado do objeto e, dessa forma, uma imagem virtual estará do lado oposto do objeto. Já nas lentes, o observador está do lado oposto do objeto e, assim sendo, para que ele observe a imagem atrás da lente, ela deverá estar do mesmo lado do objeto.
Observe os exemplos abaixo em que obteremos a imagem M’N’ do objeto MN:
LENTE DIVERGENTE
A lente divergente só conjuga um tipo de imagem para objetos reais.
LENTE CONVERGENTE
• Objeto antes do ponto antiprincipal objeto
• Objeto no ponto antiprincipal objeto
• Objeto entre o Ponto Antiprincipal e o Foco
• Objeto no Foco
• Objeto entre o Foco e o Centro Óptico
VERGÊNCIA (V)
A grandeza vergência está relacionada à capacidade da lente de convergir ou divergir, ou seja, uma lente com alta vergência possui alto poder de convergência ou divergência. A vergência é o inverso da distância focal.
A unidade de vergência é m-1 ou a dioptria (di). Popularmente, a dioptria é conhecida como grau.
FÓRMULA DOS FABRICANTES DE LENTES
A fórmula dos fabricantes de lentes ou equação de Halley nos dá a vergência em função de seu índice de refração em relação ao meio externo (nL,E) e os raios das faces (R1 e R2):
Para colocarmos os valores corretamente, devemos ter atenção nas seguintes observações:
• caso uma face seja plana, seu raio é considerado infinito e 1/R passa a valer zero;
• se a face for côncava, seu raio é considerado negativo;
• se a face for convexa, seu raio é considerado positivo.
Se a vergência for negativa, a lente será divergente e caso ela seja positiva, a lente será convergente.
Exercícios Resolvidos
01. No dia 20 de junho de 1969, o ser humano caminhou pela primeira vez na superfície lunar. Em uma das fotos registradas nesse dia pode-se ver uma imagem direita e menor formada pela superfície convexa do visor do capacete do astronauta Edwin Aldrin, que funciona como um espelho.
Essa imagem é
a) real e o objeto se encontra além do centro de curvatura do espelho.
b) virtual e independe da localização do objeto.
c) virtual e o objeto se encontra entre o espelho e seu foco principal.
d) real e o objeto se encontra entre o espelho e seu foco principal.
e) real e independe da localização do objeto.
Resolução: B
Em todo espelho esférico gaussiano convexo a imagem é sempre direita, virtual e menor. O foco do espelho convexo é sempre virtual, independendo da posição do objeto.
02. (UEL) Certos dispositivos possibilitam visualizar ou demonstrar fenômenos naturais explicados pelas Leis da Física como o que se encontra no Museu de Ciência e Tecnologia de Londrina, conforme a figura a seguir.
Nos compartimentos inferiores do dispositivo, há dois tipos de lentes, sendo possível observar a convergência e a divergência dos raios de luz que incidem nas lentes e delas emergem ao se acionar um botão.
Com base na imagem e nos conhecimentos sobre lentes esféricas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o caminho percorrido pelos raios de luz.
Resolução: C
Através dos raios típicos podemos excluir alternativas erradas:
Todo o raio de luz incidente sobre o centro óptico não sofre desvio. Descartadas as alternativas [B], [D] e [E].
Todo o raio de luz incidente que passa pelo foco, refrata-se na lente paralelamente ao eixo principal. Descartadas as alternativas [A], [D] e [E].
Todo o raio de luz incidente paralelamente ao eixo principal refrata-se passando pelo foco. Descartadas as alternativas [B]] e [E].
03. (FUVEST) Três amigos vão acampar e descobrem que nenhum deles trouxe fósforos. Para acender o fogo e fazer o almoço, resolvem improvisar e prendem um pedaço de filme plástico transparente num aro de “cipó”. Colocam um pouco de água sobre o plástico, formando uma poça de aproximadamente 14 cm de diâmetro e 1 cm de profundidade máxima, cuja forma pode ser aproximada pela de uma calota esférica. Quando o sol está a pino, para aproveitamento máximo da energia solar, a distância, em cm, entre o centro do filme e a palha seca usada para iniciar o fogo, é, aproximadamente,
Note e adote:
– Para uma lente plano-convexa, 1 / f = (n – 1) 1 / R, sendo o índice de refração da lente e R o seu raio de curvatura.
– Índice de refração da água = 1,33
a) 75
b) 50
c) 25
d) 14
e) 7
Resolução: A
Representação da situação descrita no enunciado:
Formou-se uma lente plano-convexa, cujo raio de curvatura R pode ser obtido aplicando-se o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da figura:
A distância entre o centro da lente e a fonte de calor deve ser igual a distância focal. Logo, a distância entre o centro do filme e a palha seca deve ser de aproximadamente 75 cm.
