Espelhos e lentes: equação de Gauss
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Após a localização gráfica, caso haja necessidade de se obter informações precisas sobre a imagem, utilizaremos uma expressão matemática conhecida como equação de Gauss. Antes de citar a expressão iremos definir algumas grandezas:
• p é a distância do objeto ao sistema óptico; abscissa do objeto;
• p’ é a distância da imagem ao sistema óptico; abscissa da imagem;
• o é a altura do objeto;
• i é a altura da imagem.
A equação de Gauss ou função dos pontos conjugados tem como finalidade a obtenção das abscissas da imagem ou do objeto e a distância focal, sabendo-se duas delas. A função dos pontos conjugados é dada por:
Porém, ao desenvolvermos a expressão, teremos:
AUMENTO LINEAR (A)
O aumento linear transversal é uma grandeza definida pela razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto. Mas também pode ser obtido pela razão entre p’ e p.
Através do aumento linear, podemos classificar a imagem. Caso o aumento seja positivo, a imagem será direita. Se o aumento for negativo, a imagem será invertida.
Se:
• | A | > 1 → imagem é maior que o objeto;
• | A | = 1 → imagem de mesmo tamanho que o objeto;
• | A | < 1 → imagem menor que o objeto.
REFERENCIAL GAUSSIANO
Para que se obtenha o valor correto das grandezas em questão, deve-se colocar corretamente os sinais de p, p’ e f. Uma maneira prática de se guardar os sinais é lembrar que as grandezas atrás do espelho são negativas. Dessa forma, os objetos e imagens virtuais terão suas abscissas negativas assim como os espelhos convexos suas distâncias focais negativas. As grandezas diante do espelho terão sinais positivos. Os objetos e imagens reais e as distâncias focais dos espelhos côncavos serão considerados positivos. Na tabela abaixo, temos um resumo com os sinais adotados que chamamos de referencial gaussiano.
As imagens podem se localizar tanto na frente como atrás do espelho, então, para que possamos saber sua verdadeira posição, adotou-se um referencial de sinais positivo e negativo.
OBSERVAÇÃO
COMO ESPELHO CONVEXO PODE CAIR NO ENEM?
É comum percebermos em portas de lojas e em saídas de estacionamentos alguns espelhos convexos. Esses espelhos têm como finalidade a ampliação do campo visual, melhorando assim a área que é visível. A questão explora as características da imagem formada por um espelho côncavo.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. (ENEM 2ª APLICAÇÃO) Os espelhos retrovisores, que deveriam auxiliar os motoristas na hora de estacionar ou mudar de pista, muitas vezes causam problemas. É que o espelho retrovisor do lado direito, em alguns modelos, distorce a imagem, dando a impressão de que o veículo está a uma distância maior do que a real.
Este tipo de espelho, chamado convexo, é utilizado com o objetivo de ampliar o campo visual do motorista, já que no Brasil se adota a direção do lado esquerdo e, assim, o espelho da direita fica muito mais distante dos olhos do condutor.
Disponível em: http://noticias.vrum.com.br. Acesso em: 3 nov. 2010 (adaptado).
Sabe-se que, em um espelho convexo, a imagem formada está mais próxima do espelho do que este está do objeto, o que parece estar em conflito com a informação apresentada na reportagem. Essa aparente contradição é explicada pelo fato de:
a) a imagem projetada na retina do motorista ser menor do que o objeto.
b) a velocidade do automóvel afetar a percepção da distância.
c) o cérebro humano interpretar como distante uma imagem pequena.
d) o espelho convexo ser capaz de aumentar o campo visual do motorista.
e) o motorista perceber a luz vinda do espelho com a parte lateral do olho.
Resolução: C
Nossos olhos estão acostumados com imagens em espelhos planos, onde imagens de objetos mais distantes nos parecem cada vez menores.
Esse condicionamento é levado para o espelho convexo: o fato de a imagem ser menor que o objeto é interpretado pelo cérebro como se o objeto estivesse mais distante do que realmente está.
Essa falsa impressão é desfeita quando o motorista está, por exemplo, dando marcha a ré em uma garagem, vendo apenas a imagem dessa parede pelo espelho convexo. Ele para o carro quando percebe pela imagem do espelho convexo que está quase batendo na parede. Ao olhar para trás, por visão direta, ele percebe que não estava tão próximo assim da parede.
02. (EEAR) Uma árvore de natal de 50 cm de altura foi colocada sobre o eixo principal de um espelho côncavo, a uma distância de 25 cm de seu vértice. Sabendo-se que o espelho possui um raio de curvatura de 25 cm, com relação a imagem formada, pode-se afirmar corretamente que:
a) É direita e maior do que o objeto, estando a 20 cm do vértice do espelho.
b) É direita e maior do que o objeto, estando a 25 cm do vértice do espelho.
c) É invertida e maior do que o objeto, estando a 25 cm do vértice do espelho.
d) É invertida e do mesmo tamanho do objeto, estando a 25 cm do vértice do espelho.
e) É direita e do mesmo tamanho do objeto, estando a 20 cm do vértice do espelho.
Resolução: D
Portanto, a imagem é invertida, do mesmo tamanho do objeto e está a 25 cm do espelho.
03. (UNIOESTE) Considere um espelho esférico, côncavo e Gaussiano com raio de curvatura R = 40 cm. Um objeto se desloca ao longo do eixo principal que passa pelo vértice do espelho, se afastando do mesmo com velocidade constante de 5,0 cm/s. No instante t = 0 s, o objeto se encontra a 60 cm de distância do vértice do espelho.
Assinale a alternativa que indica CORRETAMENTE o instante no qual a imagem do objeto se aproximou 5,0 cm do vértice do espelho.
a) 2,0 s
b) 4,0 s
c) 6,0 s
d) 8,0 s
e) 10,0 s
A figura abaixo representa a Resolução da questão cujo gabarito é D:
04. (FUVEST) Câmeras digitais, como a esquematizada na figura, possuem mecanismos automáticos de focalização.
Em uma câmera digital que utilize uma lente convergente com 20 mm de distância focal, a distância, em mm, entre a lente e o sensor da câmera, quando um objeto a 2 m estiver corretamente focalizado, é, aproximadamente;
a) 1.
b) 5.
c) 10.
d) 15.
e) 20
Resolução: E
Nota: os cálculos poderiam ser dispensados, pois a distância do objeto à lente é muito maior que a distância focal (p>>>f) Nesse caso, a imagem forma-se, praticamente, sobre o foco.
