Equilíbrio de corpos extensos e alavancas

MOMENTO DE UMA FORÇA OU TORQUE

No módulo anterior, tratamos de corpos pontuais, ou seja, de dimensões desprezíveis. No contexto de corpos pontuais só interessa considerar a possibilidade de translação, visto que, não se pode caracterizar o movimento de rotação de um corpo puntiforme. A única condição necessária para o equilíbrio, nesse quadro, é a força resultante sobre o corpo pontual ser nula.

O corpo extenso, por sua vez, possibilita a análise tanto do movimento de translação como o de rotação. Por esse motivo, o equilíbrio do corpo extenso acontece quando duas condições são satisfeitas: uma referente à translação (força resultante ser nula) e outra referente à rotação (torque resultante ser nulo).

OBSERVAÇÃO

Equilíbrio

Corpo Pontual → Força resultante nula.

Corpo Extenso → Força e torque resultantes devem ser nulos.

Na figura, percebemos que no corpo, agem duas forças de mesmo módulo F, mesma direção e sentidos opostos.

Observe que a força resultante sobre a barra é nula, porém, devido à posição de aplicação das forças no corpo extenso uma rotação é gerada, essa rotação é provocada pelo torque das forças, grandeza que estudaremos nesse módulo.

O momento de uma força (também chamada de torque) é a grandeza vetorial cujo módulo indica a eficiência de uma força em produzir rotação em um corpo em torno de um ponto de referência.

Dada a situação da imagem, o módulo do torque gerado pela força F é calculado pela relação:

Realizando a decomposição de

M = F · sen(θ) · r ou M = F · r · sen(θ)

Apenas a componente perpendicular ao braço produz rotação, toda força cuja direção passa pelo ponto de rotação não gera torque. Observe algumas aplicações, considerando o sentido de rotação anti-horário como positivo.

A)

O módulo do torque da força F é calculado da seguinte maneira

M = F · sen(θ) · r

A distância “r” foi representada nesse caso pela letra “d”. Como o sen(90°) = 1 podemos escrever simplesmente:

M = F · d
M = 20 · 2
M = 40 N·m

B)

M = F · d
M = 20 · 1,2
M = 24 N·m

Perceba comparando o exemplo (a) com o (b) que quanto menor o braço, distância d, menor será o torque, portanto, menor será a eficiência da força em gerar rotação.

C)

Nesse caso a força é oblíqua ao braço, apenas a componente perpendicular da força produz torque, por isso, realizamos a decomposição da força F.

M = F.sen(θ).r
M = 20.sen(30°). 1,2
M = 20.0,5.1,2
M = 12N.m

Perceba comparando o exemplo (b) com o (c) que mantendo a distância r constante a forma mais eficiente de produzir rotação é aplicando uma força perpendicular ao braço.

D)

Nesse caso as forças de módulos F e F’ passam pelo ponto fixo, quando isso acontece elas não geram torque.

Realizando uma análise matemática temos que:

Para a força F, temos que θ= 180° e sen(180°) = 0, por isso:

M = F · sen(θ) · r
M = 0 N·m

Para a força F’, temos que r = 0 metros, por isso:

M’ = F · sen(θ) · r
M’ = 0 N·m

É importante que o aluno reconheça esses casos, em que o torque é nulo, sem que seja necessário a substituição nas fórmulas.

E)

A força de módulo F produz uma rotação no sentido horário, de acordo com nossa notação, consideramos esse sentido como negativo.

M = -F · r
M = -20 · 1,5
M = -30 N·m
Entenda que o sinal negativo indica o sentido de rotação como sentido horário.

F)

Nesse caso a força é oblíqua ao braço, apenas a componente perpendicular da força produz torque, por isso, realizamos a decomposição da força F.

M = -F · cos(60°) · r
M = -20 · 0,5 · 1,5
M = -15 N·m

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. Observe o exemplo com uma chave fixa, conhecida como “chave de boca” sob ação de forças.

Considerando o sentido anti-horário como positivo. Calcule o momento de cada uma das forças em relação ao ponto de apoio O.

Resolução:

Torque/Momento da força F¹:

M¹ = 0 N . m (observe que a distância r = 0 metros).t

Torque/Momento da força F²:

M² = -4 . 0,1 = -0,4 N . m (Lembrando que r = 10 cm = 0,1 m; o sinal negativo é devido a força F² gerar uma rotação no sentido horário).

Torque/Momento da força F³:

M³ = 0 N·m (sen(180°) = 0).

Torque/Momento da força F⁴:

M⁴ = +2 · 0,2 = 0,4 N·m (Lembrando que r = 20 cm = 0,2 m; o sinal positivo é devido a força F⁴ gerar uma rotação no sentido anti-horário).

→ Repare que a força F¹ que está no ponto de apoio e a força F³ que tem seu prolongamento passando pelo ponto de apoio não geram torque.

Torque/Momento resultante:

Mᴿ = M¹+ M²+ M³+ M⁴ ⇒ Mᴿ = 0 – 0,4 + 0 + 0,4 ⇒ Mᴿ = 0 N·m

• Momento é a grandeza responsável pela rotação. Além de depender da força aplicada, o momento depende da distância entre a força e o eixo de rotação (braço de alavanca).

• O eixo escolhido é arbitrário, podemos escolher o mais conveniente em cada caso.

• Momento é uma grandeza vetorial, mas no nosso nível nos importaremos apenas com seu módulo.

• A unidade SI de Momento é newton.metro (N.m).

• É comum usar a seguinte convenção de sinais: se a força provoca rotação no sentido anti-horário o momento leva o sinal positivo, caso contrário leva o sinal negativo, porém nada impede que você convencione o contrário.

02. A figura representa a força aplicada na vertical, sobre uma chave de boca, por um motorista de caminhão tentando desatarraxar uma das porcas que fixa uma roda.

O ponto de aplicação da força dista 15 cm do centro da porca e o módulo da força máxima aplicada é F = 400 N. Nesta situação, suponha que o motorista está próximo de conseguir desatarraxar a porca. Em seguida, o motorista acopla uma extensão à chave de boca, de forma que o novo ponto de aplicação da força dista 75 cm do centro da porca. Calcule o novo valor do módulo da força, F’, em newtons, aplicado na extremidade da porca, necessário para que o motorista gere o mesmo torque de antes da extensão.

Resolução:
M = F × d
Na primeira situação: M = 400 N × 15 cm = 6.000 N·cm
Na segunda situação: 6.000 = F × 75 cm
F = 80 N

03. Determine o torque em relação ao ponto O da força indicada na figura. Dados F = 30 N; d = 1 m; θ = 60º

Resolução:

Perceba que apenas a componente F¹ gera torque já que a F²em seu prolongamento passa pelo ponto O, então

M = F¹ . d ⇒ M = F . cos(θ) . d ⇒ M = 30 . 1/2 . 1 ⇒ M = 15 N.m

CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO EXTENSO

São duas as condições para que um corpo se encontre em equilíbrio:

EXERCÍCIO RESOLVIDO

04. Desconsiderando a massa do fio e da barra calcule a massa M¹ para que a alavanca fique em equilíbrio. Dados m² = 6 Kg e g = 10 m/s²

Resolução:

∑ M = 0
M¹ – M² = O⇒ M¹ = M²
P¹ . D¹ = P²D² ⇒ m¹ . g . 2L/3 = m² . g . L/3
m¹ 2/3 = 6 . 1/3 ⇒ m¹ = 3kg

05. Um rapaz de 60 kg se encontra a 1 metro de distância da extremidade B.

Sabendo que o sistema está em equilíbrio e que a barra tem massa de 10 Kg. Determine a força que os apoios A e B fazem na barra.

Dado g = 10m/s²

Resolução:

Condições de Equilíbrio
∑f = 0 e ∑M = 0

→ Soma das forças na vertical

∑ Fʸ = 0
Fᴬ + F ᴮ – Pᵇᵃʳʳᵃ – Pʰᵒᵐᵉᵐ = p
Fᴬ + F ᴮ – 100 – 600 = 0
Fᴬ + F ᴮ = 700 equação l

→ Soma dos momentos (Considerando o ponto A como apoio)

∑M = 0
Mᴬ + Mᴮ – Mᵇᵃʳʳᵃ – Mʰᵒᵐᵉᵐ = 0
Fᴬ . 0 + Fᴮ . 3 – Pᵇᵃʳʳᵃ . 1. 5 – Pʰᵒᵐᵉᵐ . 2 = 0
3 . Fᴮ – 100 . 1,5 – 600 . 2 = 0
Fᴮ = 1350/3
Fᴮ = 450N
Temos que
Fᴬ + F ᴮ = 700
Fᴬ + 400 = 700
Fᴬ = 250N

BINÁRIO

É o sistema de forças com apenas duas componentes de mesmo módulo, paralelas e de sentidos opostos. A distância entre as duas retas suportes é denominada braço do binário. Num binário sempre teremos:

Sempre que um binário age sobre um corpo ele provoca rotação. Procure situações diárias onde se aplica um binário.

ALAVANCAS

Alavancas são instrumentos usados para erguer objetos apoiados em uma de suas extremidades, reduzir o esforço ou ampliar uma força. São constituídas de uma barra e um ponto fixo de apoio. Devido a esse ponto de apoio, o movimento realizado é sempre de rotação em torno de um eixo, ainda que a rotação não seja completa.

TIPOS DE ALAVANCA

Interfixa

O ponto de apoio situa-se entre os pontos de aplicação das forças resistente e potente.

Interpotente

O ponto de aplicação da força potente localiza-se entre os pontos de apoio e de aplicação da força resistente.

Interresistente

O ponto de aplicação da força resistente fica entre os pontos de apoio e de aplicação da força potente.