CINEMÁTICA ANGULAR
GRANDEZAS ANGULARES
No estudo da cinemática angular, os conceitos fundamentais como espaço, velocidade e aceleração serão redefinidos para adaptação à realidade angular.
ESPAÇO ANGULAR (θ)
Suponha que o ponto P da figura a seguir esteja realizando um movimento circular. Sua posição pode ser determinada através do espaço S que ele percorreu.
Como se trata de um movimento circular, também podemos obter sua localização através do ângulo percorrido, que consiste no ângulo central da circunferência correspondente ao arco S.
As unidades do espaço angular serão as mesmas utilizadas na medição de ângulos, basicamente, graus e radianos. Será mais frequentemente encontrada e utilizada a unidade radiano (rad), pois se relaciona mais simplesmente com metros (m).
RADIANO
Um radiano é a medida do ângulo central θ, tal que determina sobre a circunferência um arco AB de comprimento igual ao raio da circunferência.
Dessa forma, com base na figura abaixo, concluímos que o ângulo θ será igual a 1 rad caso o arco AB seja igual a R.
1rad/∆θ = R/∆S
O espaço angular pode ser obtido em função do espaço S, por uma expressão matemática. Sendo S o arco correspondente do ângulo ϕ e R o raio da circunferência, teremos:
Logo:
∆S = ∆θ · R
VELOCIDADE ANGULAR: MÉDIA (ΩM) E INSTANTÂNEA (Ω)
Na cinemática escalar definimos a velocidade média como sendo a variação do espaço angular sobre a variação do tempo. A velocidade angular média se refere à variação do ângulo central.
Dessa forma, a velocidade angular média consiste em:
Unidade no S.I.: rad/s
Ao fazer uma analogia com a cinemática escalar, veremos que a velocidade angular instantânea será dada pela fórmula:
Pode-se tirar uma relação que envolva a velocidade linear e a velocidade angular:
V = ∆S/∆t = ∆θ . R/∆t
Como ω = ∆θ/∆t , teremos
V = ω . RT
ACELERAÇÃO ANGULAR: MÉDIA (∆M) E INSTANTÂNEA (∆)
A aceleração angular média é definida como:
Unidade no S.I.: rad/s²
Já a aceleração angular instantânea, seguindo a regra, é dada por.
a = lim ∆ω/∆t
∆t → 0
Como pôde ser verificado, todas as grandezas angulares podem ser obtidas através dos valores das grandezas lineares, sendo que basta dividir essa pelo raio da circunferência.
PERÍODO (T) E FREQUÊNCIA (F)
A maioria dos problemas de movimento circular mencionam dois conceitos importantes: período e frequência. Certos fenômenos são chamados de periódicos, pois se repetem sempre em intervalos de tempo iguais. Em um movimento periódico, define-se como período (T) o menor tempo para que esse fenômeno se repita. No caso mais específico do movimento circular, o período será o tempo necessário para que a partícula complete uma volta. A unidade do período, no SI, é o segundo (s).
A frequência (f) de um movimento consiste no número de vezes que um dado fenômeno ocorre em uma unidade de tempo. O valor da frequência depende da unidade de tempo escolhida. No SI, a unidade de frequência é o hertz (Hz), que é o inverso do segundo (s-¹), e que no movimento circular também recebe a denominação de rps (rotações por segundo). Outra unidade muito utilizada é o rpm (rotações por minuto). Para a conversão de rpm para Hz podemos utilizar uma regra de três:
Nº DE VOLTAS TEMPO (s)
1 Hz 1
1 rpm 60
A relação entre período e frequência também pode ser obtida a partir de uma regra de três:
Nº DE VOLTAS TEMPO
1 _________________T
f _________________1
f ⋅ T = 1 T = 1/f
Logo : f = 1/T
A frequência é dada pelo inverso do período.
Para exemplificar período e frequência lembre-se do movimento de rotação do planeta Terra. A Terra leva em torno de 24 horas para completar 1 volta em torno do seu eixo, e repete periodicamente essa rotação. Logo o período de rotação da Terra é de 24 horas (T = 24 h) e a frequência é 1 volta a cada 24 horas ( f = 1 (volta) \ 24 (horas) )
ACELERAÇÃO CENTRÍPETA
Para que um movimento circular possa existir é necessário que a direção da velocidade varie, isso é claro, pois se a direção permanecesse constante o movimento seria retilíneo. A aceleração centrípeta (direção radial apontando para o centro) provoca mudança na direção da velocidade, seu módulo é calculado por:
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
É todo movimento de trajetória circular em que o módulo da velocidade é constante, percorrendo arcos de comprimentos iguais e varrendo ângulos iguais em iguais intervalos de tempo.
|V| = constante ≠ 0 e ω constante ≠ 0
Direção do vetor velocidade: Sempre tangente à trajetória.
Como todo movimento, o MCU possui a função horária do movimento que apresenta duas formas: linear e angular. A forma linear é a mesma da cinemática escalar:
S = S⁰ + V · t
Partindo desta expressão e dividindo cada termo pelo raio da circunferência, teremos a forma angular:
S/R = S⁰/R + v/R . t ➞ θ = θ⁰ + ω . t
ω = ∆θ/∆t
Existem expressões que relacionam a velocidade angular com o período e a frequência. A velocidade angular é dada pela expressão:
ω = 2π/T e ω = 2π . f
Considerando uma volta completa, sabe-se que ∆θ = 2π em radianos, e o tempo (T) é o período.
Gráficos no MCU
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V.)
O MCUV é um movimento circular cujo módulo da velocidade varia a uma taxa constante, essa variação é indicada pela aceleração tangencial. Não consiste em um movimento periódico e, dessa forma, os conceitos de período e frequência não podem ser aplicados. A aceleração resultante passa a ser a soma vetorial da aceleração tangencial e centrípeta.
As equações utilizadas podem ser obtidas ao se fazer uma analogia com a cinemática escalar, substituindo cada grandeza linear pela grandeza angular correspondente.
Exemplo:
TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO
ACOPLAMENTO TANGENCIAL
Em uma bicicleta, duas rodas dentadas são ligadas por uma corrente com o objetivo de que ambas possuam a mesma velocidade linear, isto é, que percorram arcos iguais em tempos iguais para o bom funcionamento da bicicleta. Na Física, chamamos este fenômeno de transmissão de movimento. Ele ocorre quando duas circunferências (rodas, discos, polias etc.) estão juntas ou ligadas por uma corrente ou correia. Em ambos os casos, exemplificados nas figuras a seguir, a velocidade linear é igual em todas as rodas interligadas.
Apesar das velocidades lineares serem iguais em módulo as velocidades angulares são diferentes, isso ocorre pois os raios dos discos são diferentes, veja abaixo a relação entre essas grandezas:
Vᴬ = Vᴮ
ωᴬ . Rᴬ = ωᴮ . Rᴮ
Como ω= π⋅ 2 f e ω = 2π/T , teremos:
Rᴬ/Tᴬ = Rᴮ/Tᴮ e fᴬ . Rᴬ = fᴮ e Rᴮ
ACOPLAMENTO COAXIAL
Quando dois discos estão presos pelos seus centros, o movimento é transmitido de maneira sincronizada, com os dois executando as voltas simultaneamente, portanto:
OBSERVAÇÃO
O funcionamento de uma bicicleta segue o princípio básico da transmissão de movimento entre duas polias. Este é o mesmo princípio do funcionamento de engrenagens dentadas, como as de uma máquina de relógio. Neste caso, a relação entre o raio e a frequência de giro deve ser considerada.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Duas polias, A e B ligadas por uma correia têm 20 cm e 5 cm de raio, respectivamente. A polia A efetua 20 rpm. Assinale a alternativa que indica a frequência da polia B.
a) 40 rpm
b) 60 rpm
c) 80 rpm
d) 120 rpm
e) 160 rpm
Resolução: C
Temos um acoplamento por polias
Dados: ƒᴬ = 20 rpm; Rᴬ = 20 cm; Rᴮ = 5 cm
ƒᴬ Rᴬ = fᴮ Rᴮ
20 . 20 = fᴮ . 5
fᴮ = 20 . 20/5 = 400/5
fᴮ = 80 rpm
02. (UNICAMP) As máquinas cortadeiras e colheitadeiras de cana-de-açúcar podem substituir dezenas de trabalhadores rurais, o que pode alterar de forma significativa a relação de trabalho nas lavouras de cana-de-açúcar. A pá cortadeira da máquina ilustrada na figura abaixo gira em movimento circular uniforme a uma frequência de 300 rpm. A velocidade de um ponto extremo P da pá vale. (Considere π ≈ 3)
a) 9 m/s.
b) 15 m/s.
c) 18 m/s.
d) 60 m/s.
e) 120 m/s.
Resolução: C
A velocidade linear do ponto P é:
V = ω ⋅ R = 2 π ƒ R → V = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 .⋅ 0,6
v = 18 m/s
